Vom subtilen (mathematischen) Unterschied zwischen dem Geburtstagsparadoxon und dem Geschlecht

Eine Leserzuschrift, die ich eigentlich so erwartet hatte.

Ich hatte doch geschrieben, dass man dann, wenn man die Abschlussfeier am Gymnasium wegen islamischer Sitten nach Geschlechtern getrennt macht, man dann nach deutschen Sitten für jedes der 97.001,3279̅4̅ Geschlechter eine eigene Abschlussfeier braucht.

Dazu ein Leser:

97k Geburtstage

Guten Morgen Hadmut,

bei einem großen Jahrgang mit 200 Schülern und 97000 Geschlechtern sind wir gemäß dem Geburtstagsparadoxon bei etwa 20% Wahrscheinlichkeit für das Szenario, dass jeder sein eigenes Geschlecht hat.

Du schreibst: da hat leicht jeder sein eigenes Geschlecht. Von “leicht” kann ja keine Rede sein. Typische rechtsextreme Verschwörungserzählungen!

Quantitative Grüße

Schön. Gut. Nein.

Was ist das Geburtstagsparadoxon? Obwohl man 365 (manchmal sogar 366) Tage als Geburstag zur Auswahl hat, gibt es in fast jeder Schulklasse zwei Kinder, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Ab 23 Personen in einer Gruppe liegt die Wahrscheinlichkeit über 50%, dass mindestens zwei davon am gleichen Tag Geburtstag haben. Kann man sich so vorstellen (wir ignorieren mal die Schaltjahre): Bei einer Gruppe mit einer Person ist die Wahrscheinlichkeit, dass es keine Geburtstagsdoppel gibt, natürlich noch bei 100%. Kommt eine zweite hinzu, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht zu einem Doppel kommt, aber nur noch 364/365, also 99,726..%, weil sie ja den einen nicht treffen darf. Kommt eine dritte Person dazu, multipiliziert sich das mit 363/365, weil die ja schon zwei Termine nicht treffen darf, liegt also bei 365/365·363/365, mithin 99,180..%. und da sieht man schon, dass der Abstieg steiler wird. Und mit jedem, der dazu kommt, fällt die Wahrscheinlichkeit, nur einzelne Geburtstage zu haben, immer steiler. Und ab 23 Personen liegt sie unter 50%, und bei 30, einer typischen Schulklasse, ist sie richtig niedrig. Kann man leicht ausrechnen: Gruppengröße und die Wahrscheinlichkeit, dass es keine Geburstagskollisionen gibt:

 1 1.000000
 2 0.997260
 3 0.991796
 4 0.983644
 5 0.972864
 6 0.959538
 7 0.943764
 8 0.925665
 9 0.905376
10 0.883052
11 0.858859
12 0.832975
13 0.805590
14 0.776897
15 0.747099
16 0.716396
17 0.684992
18 0.653089
19 0.620881
20 0.588562
21 0.556312
22 0.524305
23 0.492703
24 0.461656
25 0.431300
26 0.401759
27 0.373141
28 0.345539
29 0.319031
30 0.293684

Deshalb gibt es in ungefähr 7 von 10 Schulklassen der Normgröße 30 Kinder Mehrfachgeburtstage.

Das Geburtstagsparadoxon gilt aber nur dann, wenn die Zahlenwerte wirklich zufällig, alleatorisch gewählt sind, sich die Wahrscheinlichkeit also jeweils mit (366-n)/365 multipliziert. Wie bei deutschen Geburtstagen, bevor es in Mode kam, Geburten vor Wochenenden und Feiertagen künstlich einzuleiten. Ich kenne außerdem eine Sippe, bei denen wirklich alle so um die Weihnachtszeit herum Geburtstag haben, weil die eben … naja … Frühling und so. Auch im türkischen Recht ist es so, dass man einmal im Leben sein Geburtsdatum ändern und auf einen Wunschtermin setzen kann, weshalb die auch nicht mehr zufällig sind. Ein türkischstämmiger Kumpel erklärte mir das mal so, dass es früher dort so war, dass wenn man die Kinder auf dem Land bekam, man keine Chance hatte, die anzumelden, und man das dann eben erledigte, wenn man das nächste Mal in der Stadt war, was auch mal ein halbes oder ganzes Jahr dauern konnte. Und um diese Verspätung rückwirkend zu korrigieren, wurde das eingeführt, dass man das Datum ändern lassen kann.

Außerdem haben wir ganz viele Migranten, die willkürliche Geburtsdaten angeben oder auch gar keines, die dann von den Behörden auf den 1.1. eines geschätzten Jahres gesetzt werden. Geburtstagsparadoxon ist eh im Eimer.

Für Geschlechter gilt das aber sowieso nicht, weil die ja willkürlich gewählt und erfinden werden, die nicht zufällig sind, sondern jeder sein individuelles persönliches Geschlecht haben will. Man kann als Geschlecht also auch »Grünes Telefon am Donnerstag bei Wind aus Nord-Nordost plus 7.543 mal süßsauer« wählen. Oder »Der mit dem Wolf tanzt«. Jeder wird also sein eigenes wählen, weshalb das Geburtstagsparadoxon für Geschlechter nicht gilt, denn die kann man ja frei wählen.