Hadmut Danisch

Ansichten eines Informatikers

Wie die Berliner Humboldt-Universität auf die Mathematik losgeht…

Hadmut
19.5.2013 23:23

Ach Du liebe Güte. Nachtrag:

Ein Leser hat mir gerade in einem Kommentar den Link auf dieses Paper (und das scheint die HTML-Version dazu zu sein) hingewiesen, in dem eine Johanna Hartmann (ohne nähere Herkunftsangaben) über die Mathematik herzieht, und sie als unglaubwürdig, willkürlich, ausgehandelt, widersprüchlich und vor allem männlich und damit als unverbindlich oder unbeachtlich hinstellen will. Kernaussage: Frauen brauchen sich um Mathematik nicht näher zu kümmern, weil es sowieso unrichtiger und willkürlicher Männerkram ist, dessen Wahrheitsgehalt fraglich ist. Eine „Grundlagenkrise” will man da herbeireden. Also ob man mit dem bestreiten von Mathematik Männer angreifen könnte.

Das ist schon deshalb dubios, weil das Paper außer einem blöden Beispiel aus einem Randgebiet der Mathematik über einen Barbier (das werde ich unten näher beleuchten) eigentlich gar nichts über Mathematik enthält und die Autorin anscheinend auch nichts Tragendes über Mathematik weiß, sie redet wie der Blinde von der Farbe. Und damit beruht das Paper nur auf dem Zirkelschluss, dass sie Mathematik für falsch hält, weil sie sie nicht verstanden hat, und die Befassung mit Mathematik für entbehrlich hält, eben weil sie ja falsch ist. Und sie sagt ja sogar

Ich gehe davon aus, dass eine wissenschaftskritische Untersuchung der Mathematik auch – und vielleicht insbesondere – NichtmathematikerInnen möglich ist.

Klar, das feministische Prinzip: Am besten schimpft sich’s auf etwas, wovon man erst gar keine Ahnung hat. Sachkunde stört nur beim Schimpfen und das Aneignen vor Sachkunde ist laut Feminismus eh nur eine Vermännlichung, die zur Unmündigkeit führt. Dass Mathematikerinnen nicht auf die Mathematik schimpfen beweist ja schon, wie vermännlicht und mänlich durchsozialisiert die sein müssen. Wäre ja auch ganz unvertretbar, sich mit einem Thema beschäftigen zu müssen, bevor man darauf schimpft.

Bemerkenswerterweise wird ja auch nicht die Mathematik widerlegt, sondern es wird einfach irgendwie auf Männer und Sprache geschimpft, und weil man Mathematik für ein Männergeschäft hält, das Beschimpfen von Männlichkeit mit dem Widerlegen von Mathematik assoziiert.

Letztlich verbirgt sich dahinter aber eigentlich nur die große Ausrede dafür, dass sich feministisch orientierte Frauen mit Mathematik gar nicht mehr näher zu befassen bräuchten. Auf die Frage, wie die Mathematik eigentlich so willkürlich verhandelt oder gar falsch sein kann, wenn sie es uns doch ermöglicht, Brücken, Wolkenkratzer, Computer, Flugzeuge zu bauen, dass wir heute in Lage sind, einen Airbus A380 so zu bauen und zu simulieren, dass er schon beim ersten realen Flugversuch einfach so abheben und normal losfliegen kann, obwohl es noch nie ein Flugzeug von dieser Größe gegeben hat, dass wir damit zum Mond und zum Mars fliegen, digital telefonieren und fotorealistisches Raytracing treiben können, Navigationssysteme und Twitter haben, die Mathematik also gar nicht so falsch sein kann, geht sie nicht ein. Und was die feministische Alternative zur Mathematik sein sollte, ebenfalls nicht. Denn bisher wurden zwar in den Universitätsfeminismus locker Milliarden versenkt, aber die Ergebnisse sind bisher gleich Null. Sie beschweren sich nur über alles, was schwierig ist, aber Leistung bringen sie nicht. Wie weibliche Wissenschaft ohne diese Mathematik aussehen sollte, oder etwa eine weibliche Variante der Mathematik, das verrät sie nicht. Mehr als Geschwafel kommt da nicht. (Es gibt auch feministische Strömungen, die Mathematik und Wahrheit aus der generellen Erwägung ablehnen, dass Mathematik, Logik, Wahrheit usw. darauf hinausliefen, dass irgendetwas richtig und alles andere falsch sein müsse, das also alles nur Ausprängungen männlichen Macht- und Herschaftsdenkens wäre und eine feministische Wissenschaft sein müsse, in der alle Meinungen und Lösungen als gleichberechtigt und gleich wahr nebeneinanderstehen müssen, also 2+3=17,49 die gleiche Wahrheitsberechtigung haben müsse wie 2+3=5. Mathematik sei nichts anderes als das auf die Spitze getriebene Diskriminieren von Lösungen und der Menschen, die dahinterstehen.)

Beachtlich ist dabei auch, dass das Paper auf einer »Hausarbeit« von 2005 beruht, die im HU Hauptseminar „Krisen der Männlichkeit” erstellt wurde, wo es – wie im Feminismus so häufig – anscheinend nur darum ging, einfach nur irgendetwas gegen Männer zu behaupten, egal was. Als Betreuer wurden Prof. Dr. Stefanie von Schnurbein und Dr. Kerstin Palm genannt. Schnurbein gehört da zu dem Gender-Sumpf, und laut Wikipedia ist sie Literaturwissenschaftlerin mit Themengebiet Skandinavien und neugermanisches Heidentum. Die perfekte Grundlage um Mathematik anzugreifen. Und es ist ja bekannt, dass die Literaturwissenschaft eine der Brutstätten der Gender-Ideologie ist. Kerstin Palm könnte möglicherweise diese hier sein, die gendert auch wie wild und hat Verbindungen zur HU. Wie man Biologie studiert haben und trotzdem an diesen Gender-Unfug glauben kann, habe ich bisher nicht nachvollziehen können. Aber das Paper zeigt mal wieder, dass es in den Gender Studies nicht um wissenschaftliches Arbeiten, sondern nur um substanzloses willkürliches Beschimpfen der Wissenschaften und das Sammeln von Vorwänden geht, warum Frauen sich mit nichts beschäftigen müssten, was irgendwie mühsam, schwierig oder überprüfbar sein könnte.

An sich wäre das Ding der Erwähnung nicht wert. Eine Studiums-Seminararbeit, das ist sowieso für den Müll, das interessiert kein Schwein, was darin steht und ob das richtig oder falsch ist. Wesentlich ist aber, dass die HU Berlin das als Bulletin herausgibt.

Der einzige greifbare Punkt ist die Sache mit dem Barbier, die sie als Beleg für die Widersprüchlichkeit und Fehlerhaftigkeit der ganzen Mathematik schlechthin anführt:

Ein Barbier gibt bekannt, alle Menschen aus dem Dorf zu rasieren, die sich selbst nicht rasieren, und niemanden zu rasieren, der sich selbst rasiert. Als der Barbier sich fragt, ob er sich nun selbst rasieren soll, stößt er auf einen Widerspruch. Das ist ein mathematisches Problem, genauer die Antinomie von der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthält, die der britische Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell 1901 entwickelte und 1918 mit dem Bild des Barbiers in einer populären Form erläuterte.

Russell war zwar Mathematiker und Logiker, und hat auch bedeutsame Werke geschrieben, aber hier hat er einfach Murks gebaut. Wer sein Handwerkszeug beherrscht, was man (heute, nicht zu Russels Zeiten) im ersten oder zweiten Semester Informatik lernt, muss eigentlich sehen, wo hier die Fehler liegen.

Der erste Fehler ist zu unterstellen, dass die Sache eine Lösung haben muss, weil sie sich schön anhört und einem sprachlich plausibel vorkommt, und es dann als Fehler mathematischer Logik ausgibt, wenn sie keine Lösung zu der gestellten Aussage liefert. Es gibt jede Menge Gleichungen und logische Aussagen, die keine Lösung haben. Hat eine Gleichung keine Lösung, ist auch das eine mathematische Aussage und kein Fehler der Mathematik. Es ist nicht Aufgabe und Pflicht der Mathematik, zu jeder willkürlich gestellten Behauptung oder Gleichung eine Lösung zu liefern. Und damit auch kein Beweis der Untauglichkeit der Mathematik, wenn eine Gleichung oder Behauptung keine Lösung hat.

Der zweite Fehler ist zu unterstellen, dass das in die Mengenlehre gehörte, nur weil es sich sprachlich danach anhört, dass es um die Menge derer geht, die sich selbst rasieren und die (Komplementär-)Menge derer, die sich nicht selbst rasieren. Denn eigentlich gehört das in die Aussagenlogik. Erst dann, wenn es eine korrekte und widerspruchsfreie Aussage über Elemente gibt, spannt diese eine Menge der Elemente auf, für die die Aussage wahr ist.

Der dritte Fehler liegt in der suggestiven Formulierung, die einem nahelegt, dass der zweite Teil der Aussage das Komplement, und damit eine Wiederholung bzw. Bekräftigung des ersten ist, ist sie aber nicht.

Schauen wir uns den ersten Teil der Aussage an (es sei aus dem Kontext unterstellt, dass der Barbier selbst „Mensch aus dem Dorf” ist):

Ein Barbier gibt bekannt, alle Menschen aus dem Dorf zu rasieren, die sich selbst nicht rasieren,

Hier würde also der Fall ausgeschlossen, dass der Barbier sich nicht selbst rasiert, weil er sich dann ja rasieren müsste. Würde er sich nicht selbst rasieren, wäre die Aussage logisch falsch. Rasiert er sich aber selbst, wäre die Aussage in Ordnung.

Schon das ist aber nicht mehr geeignet, eine Menge von Menschen zu erzeugen, denn aus einer aussagenlogischen Aussage kann man Mengen dann erzeugen, wenn es Elemente gibt, die die Aussage erfüllen und solche, die sie nicht erfüllen. Eine solche Aussage ist das aber erst gar nicht, denn es ist ja keine Aussage, die für manche der Menschen des Dorfes wahr und für andere falsch ist, sondern eine Aussage, die insgesamt möglich oder unmöglich ist. Sie spannt also keine Menge der vom Barbier rasierten Menschen auf.

(Etwas anderes wäre beispielsweise eine der typischen Übungsaufgaben der Informatik: Der Barbier rasiert eine Person x genau dann, wenn x entweder neben seinem Schwager wohnt, oder vor 6 oder nach 9 Uhr morgens aufsteht, und Sonntags zur Kirche geht, wenn auch sein Nachbar zur Linken in die Kirche geht. Da könnte man aus allen Bewohnern die x auswählen, für die die Aussage erfüllt ist.)

Hier aber würde nicht eine Teilmenge der Bewohner des Dorfes aufgespannt, sondern eine Aussage gestellt, die mit den Bewohnern eigentlich gar nichts mehr zu tun hat, sondern lediglich in sich widersprüchlich ist, wenn er sich nicht selbst rasiert.

Dann kommt ein zweiter Teil, nämlich

und niemanden zu rasieren, der sich selbst rasiert.

Das erscheint zwar sprachlich und suggestiv wie eine Wiederholung derselben Aussage durch Darstellung der komplementären Aussage, sie ist aber kein Komplement. Die gegensätzliche Aussage zum ersten Teil wäre: „Es gibt mindestens einen Bewohner, der sich nicht selbst rasiert und auch vom Barbier nicht rasiert wird.” (Mal unterstellt, es gäbe mehr als einen Bewohner.) Hier aber wird nun gesagt, dass alle Bewohner, die sich selbst rasieren, nicht vom Barbier rasiert werden. Das hört sich nur so an, als wäre es die Komplementäraussage, ist es aber nicht. Und auch hier hört es sich wieder wie eine Aussage über die Bewohner an, sie ist aber nur eine Aussage über den Barbier.

Und hier kommt es zum Fehler, wenn sich der Barbier selbst rasiert.

Tatsächlich also wurde über das Dorf gar nichts gesagt, und es wurden zwei – tatsächlich voneinander unabhängige – Aussagen suggestiv zusammengestellt, die jede für sich falsch sind, weil sie durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen sind bzw. einen Fall ausschließen.

Und nicht die Aussagen sind komplementär zueinander, sondern die Gegenbeispiele bzw. Fälle des Barbiers. Rasiert er sich nicht selbst, läuft er in den ersten Widerspruch, tut er es, läuft er in den zweiten.

Ein typisches Beispiel von den Aufgaben, wo der Fehler in der Aufgabenstellung liegt und verbal darüber hinweggebügelt wird.

Weil die Aussage sich zwar oberflächlich logisch anhört, tatsächlich aber zwei verschiedene Aussagen enthält, die jede in jeweils einem Fall zum Widerspruch führen, liegt das Problem eindeutig in der Aussage. Die Behauptung des Barbiers (bzw. Russels) ist schlichtweg falsch und nicht erfüllbar. Eine Aussage, die keine Lösung hat. Das ist alles, mehr ist da nicht.

Man kann aber nicht durch Stellen einer falschen Aufgabe beweisen, dass die Mathematik falsch ist. Zumal ja nicht die Mathematik die Aufgabe mit dem Barbier gestellt hat, sondern Russel. Ein Widerspruch ist ein Beweis, dass etwas falsch ist, aber der Beweis zeigt hier, dass der Barbier nicht die Wahrheit gesagt haben kann, nicht dass die Mathematik falsch wäre.

Trotzdem wollen sie das als Aufhänger nehmen um nachzuweisen, dass die Mathematik fehlerhaft sei. Dabei ist es bei Licht betrachtet der Beweis, dass die Mathematik korrekt ist, weil sie zu einer widersprüchlichen Aufgabe keine Lösung liefert, sondern den Widerspruch aufzeigt. Die Mathematik funktioniert also. Falsch wäre sie, wenn sie zu dieser Aufgabe eine Lösung geliefert hätte.

Und genau das ist dann auch der Fehler, der auf feministischer Seite dann begangen wird, denn das Paper schließt mit der Behauptung

Auch wenn es sich bei dem Beispiel mit dem Barbier lediglich um ein Bild handelt und die Lösung des mengentheoretischen Problems nicht durch ein Umstellen dieses Bildes funktionieren kann, so ist dieses von Mathematikern gewählte Bild doch ein äußerst treffendes, das die Begrenztheit der Lösungsvorschläge und die Fixiertheit auf ein männliches Erkenntnissubjekt und auf Männlichkeit als Lösung verdeutlicht. Für die Lösung muss der Schritt aus der gegenseitigen Legitimierung und Stabilisie­rung der Konstrukte von Mathematik und Männlichkeit gemacht werden. Der Barbier ist eine Frau. Easy.

Nein, gar nicht easy. Sondern strunzedumm. Reines Verbalgeplapper, der Verzicht aufs Nachdenken.

Denn erstens ändert es überhaupt nichts an der Aussage, dass der Barbier weiblich ist. Denn die Aussage betraf ja nicht die Männer, sondern alle Menschen aus dem Dorf. Und das Geschlecht eines Menschen ändert überhaupt nichts daran, dass er sich selbst rasiert oder eben nicht. Frauen rasieren sich eher nicht, also auch nicht selbst, das ändert an der Aussage aber gar nichts. Dass ihre „easy” Lösung die Aufgabe erfüllen würde, ist weder gezeigt noch ersichtlich.

Tatsächlich beruht der Vorschlag der Autorin darauf, dass sie – ganz in feministischer Praxis – die Begriffe verschiebt und aus den zwei Kategorien „rasiert sich selbst” und „rasiert sich nicht selbst” drei Kategorien macht, nämlich „rasiert sich selbst”, „wird von jemand anderem rasiert” und „wird gar nicht rasiert”, um einen weiblichen Barbier der dritten – nicht vorgesehenen – Kategorie der gar nicht rasierten zuzuordnen. Sprachlich beruht das mal wieder auf unpräziser Ausdrucksweise. Die ursprüngliche Aussage „rasiert sich nicht selbst” war als Komplement der Selbstrasierer gedacht. Das jetzt einfach zu unterteilen in Männer, die sich rasieren lassen, und Frauen, die gar nicht rasiert werden, ist schlichtweg eine Änderung der Aufgabenstellung. Und diese Aufgabenstellung mit den nunmehr drei Kategorien hätte der Barbier auch einfach selbst lösen können, indem er sich einen Vollbart wachsen lässt. Dazu braucht es keine Frau. Zeit aber wieder mal sehr schön die notorische Sprachschlamperei und -verdreherei der Feministinnen. (Und mit dem Sprachpfusch wollen die Literaturwissenschaft betreiben? Zeigt sich im Genderismus übrigens sehr häufig, dass diese »Literaturwissenschaftler« einfach nach Lust und Laune alles so verstehen, wie es ihnen in den Kram passt und zum gewünschten Ziel führt. Deshalb ja auch deren kreuzdämlichen Formulierungen wie „kann verstanden werden als” oder wie hier „kann gelesen werden als”. Da geht’s dann gar nicht mehr darum, was jemand geschrieben hat, sondern ob man behaupten kann darin gelesen zu haben, wozu man gerade Lust hat.)

Und zweitens zeigt das, dass die Autorin nicht verstanden hat, wovon sie redet. Denn wenn zu einer in sich widersprüchlichen und unlösbaren Aufgabenstellung die Mathematik keine Lösung liefert, die Autorin aber trotzdem eine offenkundig falsche (nur um das letzte Wort zu behalten), dann ist das Urteil, dass die Mathematik richtig und die Auffassung der Autorin falsch ist.

Schon toll, was für einen Murks sich die Berliner Humboldt-Universität da auf Steuerzahlerkosten leistet. Aber sind ja die Steuerzahler aus Bayern, wir haben ja den Länderfinanzausgleich. Ist wohl eher ein Geschlechterfinanzausgleich.

Und es ist wieder mal ein schönes Beispiel dafür, dass die angebliche Wissenschaftskritik des Genderismus in Wirklichkeit nur auf Einbildung, Inkompetenz, unpräzisem Gefasel und ständiger Umdefinition der Begriffe und Kontexte beruht. Eben das Niveau der Humboldt-Universität. Wissenschaftlich unterste Schublade. Steuerfinanziertes Schwätzerinnentum.

Wobei man sagen muss, dass es in Deutschland viele Hochschulen gibt, die völlig unwissenschaftlich sind und nicht mal die Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens beherrschen, Wissenschaft nicht ansatzweise verstanden haben, oder drauf pfeifen, das wäre nicht neu. Aber hier ist das ja eine neue Qualität, da wird Wissenschaftlichkeit sogar aktiv bekämpft, verachtet, abgeschafft.

Das ist sogar noch weit unter Null.

Und dieser akademische Super-Saftladen ist auch noch Exzellenzuniversität. Humboldts täten sich im Grabe rumdrehen.

Nachtrag 1: Weil Leute gefragt haben und wegen der Diskussion zum Artikel:

Das Barbier-Problem ist nur eine Veranschaulichung der Russel’schen Antinomie, die ich aber schon nach der damaligen Mengenlehre nicht für ein Paradoxon, sondern schlicht für falsch halte. Es geht um die »Menge« aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. (Deshalb ergeben auch solche Kinkerlitzchen wie die Frage, ob der Barbier überhaupt rasiert wird oder eine Frau ist, keinerlei Sinn und zeigen nur, dass da jemand von etwas schwätzt, was er nicht verstanden hat, denn bei der Frage, ob eine Menge Element einer anderen ist, geht es ja auch nicht um die Frage, ob eine Menge überhaupt Element oder ob die Menge weiblich ist. Das ist dann einfach nur irgendwas hirnloses dahergeschwätzt.)

Dass diese Antinomie blödsinnig ist, kann man sich leicht klarmachen, indem man ihr Komplement betrachtet, nämlich die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten. Enthält diese Menge sich selbst oder tut sie das nicht? Beides ist zutreffend: Wenn sie sich enthält, enthält sie sich. Und wenn sie sich nicht enthält, enthält sie sich nicht. Es ist also keine taugliche Definition einer Menge, weil nicht klar ist, ob die Menge sich selbst enthält. Beide Fälle sind erfasst, und deshalb ist das keine taugliche Aussage. Wenn es aber nur zwei Fälle gibt und beide erfasst sind, dann bleibt für die Komplementärmenge keiner der beiden Fälle übrig.

Das ist also keine Antinomie und kein Paradoxon, es ist nur sprachlicher Unfug, der sich nach Mathematik anhört, aber aus zwei sich widersprechenden bzw. im Komplement überlappenden Anforderungen besteht.

119 Kommentare (RSS-Feed)

Lessie Byers
19.5.2013 23:33
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Die Alternative: »Ja, der Barbier rasiert sich selbst.« Leute, die sich selbst rasieren, gehören nach der Definition aber gerade nicht zu dem Personenkreis, der vom Barbier rasiert wird. Diese Antwort ist also auch falsch. Aus der Definition ergibt sich also das Paradoxon, dass der Barbier sich erstens selbst rasiert und zweitens nicht selbst rasiert.


Jens
19.5.2013 23:35
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Hast Du da blockquote-Elemente falsch geklammert?


Hadmut
19.5.2013 23:37
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> Hast Du da blockquote-Elemente falsch geklammert?

Äh, wo?


Andena
19.5.2013 23:36
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In gewisser Weise hat die “Mathematik-KritikerIn” sogar Recht. In wirklich guten Büchern zu den Grundlagen der Mathematik fehlen bis zum Kapital der Definition “Ganzer Zahlen” schlicht die Seitenzahlen.

Ob das nun den feministischen Extermisten weiterhilft mag ich aber zu bezweifeln.


Hadmut
19.5.2013 23:39
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> In wirklich guten Büchern zu den Grundlagen der Mathematik fehlen bis zum Kapital der Definition “Ganzer Zahlen” schlicht die Seitenzahlen.

Sowas hab ich noch nicht gesehen, aber der ist gut. 😀

Inwieweit das der »Mathematik-Kritikerin« zu Hilfe käme, kann ich aber nicht erkennen.


Herbert
19.5.2013 23:38
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Dankeschön, sehr gut aufgearbeitet!
Nur schade, dass es bei denen, die es bräuchten, nie ankommen wird. Und wenn doch, dann wird beim ersten Denkversuch abgebrochen und “KACKSCHEIßE” geschriehen.

ps: da ist ein quote kaputt in deinem Text


Hadmut
19.5.2013 23:45
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> ps: da ist ein quote kaputt in deinem Text

Danke, jetzt hab ich’s.

Bei mir sah das nämlich wie gewünscht aus, aber da hat mir die Autokorrektur von WordPress einen Reingewürgt und die Kombination aus UMTS über Handy und Browser-Cache die Änderungen nicht angezeigt.


Hadmut
19.5.2013 23:49
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> Nur schade, dass es bei denen, die es bräuchten, nie ankommen wird.

Das einzige, was in deutschen Hochschule, besonders der HU, noch ankommt, ist Geld.


Jens
19.5.2013 23:39
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Keine Ahnung, wo. Aber “Nein, gar nicht easy. Sondern strunzedumm.” kommt in einem Zitat-Block vor. Und ich nehme mal an, dass das von Dir ist.


Jens
19.5.2013 23:42
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Ich glaub, direkt nach der einen Zeile “und niemanden zu rasieren, der sich selbst rasiert.” müsste das blockquote wieder geschlossen werden … Es geht aber munter weiter bis zum Ende des Artikels.


Jens
19.5.2013 23:45
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Jetzt sieht’s gut aus.


Hadmut
19.5.2013 23:46
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Danke!


Anmibe
20.5.2013 0:20
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Wer sagt eigentlich, dass der Barbier im Dorf wohnt?


Hadmut
20.5.2013 0:28
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Die bei Aufgaben wohl häufig unterstellte Tatsache, dass die Aufgabe immer so gemeint ist, dass es tatsächlich eine Aufgabe ist (und der Hintergrund, dass der Barbier nur die populär-beispielige Version der Frage war, ob es eine Menge geben kann, deren Elemente exakt alle die Mengen sind, die sich selbst enthalten. )


Jabe
20.5.2013 0:42
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Jetzt kann ich sicher nicht mehr einschlafen, weil ich mich aufrege.
Deshalb fordere ich Öffnungszeiten für dein Blog! Easy.


Alex
20.5.2013 1:04
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Ich hab mir bisher nur den ersten Teil des pdfs durchgelesen.
Der zweite teil kommt dann morgen;

Das ist inhaltlich OK, ist vom Niveau deutlich unter dem, was in Büchern zur Geschichte der Mathematik abgehandelt wird, aber im wesentlichen kommen viele Dinge hin (also die Beschreibung der Grundlagenkrise)

Die Anmerkung der Einleitung, dass hier etwas “ausgehandelt” wurde ist einfach Müll.
Tatsächlich sind die Fragen der Grundlagenkrise seid Gödel überwunden, und präzise mathematisch gelöst.

Im Rahmen der historischen Einordnung, ist mir aufgefallen, dass die Autorin _unredlich_ schreibt:
Es werden herausragende Mathematikerinnen erwähnt, aber bewusst unterschlagen, dass deren Arbeit von den Mathematikern geschätzt wurde, und diese sich massiv für die Anerkennung der Leistung jener Frauen eingesetzt haben.
Auch wenn man weiter zurückgeht in der Geschichte, dann wurde mathematische Leistung schon immer honoriert (sofern der “prüfende” Mathematiker sie verstehen konnte..)

Aber vieleicht ist es einfach für disen Personenkreis aus dem verlinktes PDF stammt nicht möglich einzugestehen, dass Frauen (in der Mathematik) schon immer durch mathematische Leistung überzeugt haben…

Noch ein paar Anmerkungen zu den ersten Anmerkungen:
* Das Barbierbeispiel wird gerne umgangssprachlich verwendet, und das ist auch in Ordnung so, daher macht es keinen Sinn sich über sprachliche Ungenauigkeiten zu erbrüsten (weil dieses sprachliche “Gleichnis” einfach nur ein Bild ist für die eigentliche Antinomie

* Aussagenlogik und Mengenlehre gehören mittlerweile streng zusammen, daher macht das keinen Sinn, hier eine künstliche Trennung zu erwarten (moderne Quellen können dort nicht unterscheiden, “mathematische Logik” ist “Mengenlehre” – und das schließt den einfachen Bereich der Aussagenlogik mit ein)

* Zur historischen Einordnung:
Um 1900 hatte man als Begriff von der Menge lediglich den naiven Begriff einer Menge nach Cantor (eine Menge ist eine Sammlung von Elementen, und für jedes Objekt ist klar entscheidbar, ob es Element der Menge ist, oder eben nicht) – insofern fallen beide Varianten der Antinomie direkt in die Mengenlehre:
1) Es gibt Objekte, die man nicht einer von zwei “komplementären” Mengen zuordnen kann, ob wohl man es erwarten würde
2) Es gibt (interssante) Konstrukte, die keine Menge sind.

Insofern war die erste (sogar zeitlich) Konsequenz einen neuen (und genaueren) Mengenbegriff einzuführen (ZF(C) – 1908 Grundzüge – genauer dann bis Mitte der 20iger Jahre)

Tatsächlich gab es danach eine eigentlich zweite “Krise”, nämlich die beiden Gödel’schen Unvollständigkeitssätze, die Hilberts Programm zunichte machten (aber damit auch “lösten”)


Leif
20.5.2013 1:21
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Ich will in keinem Dorf leben, in dem sich Frauen gar nicht rasieren. 🙂

Die Lösung “ich hab auch keine Lösung” aber alle anderen Lösungsansätze sind scheiße – weil “männlich” -, ist mal wieder eine typisch feministische Null-Leistung.

Drei Mal Kackscheiße schreiben und alles ist “easy”. Genial – dass da vorher noch niemand drauf gekommen ist………………………………………………………………………………………………………………., HAT GRÜNDE.


Alex
20.5.2013 1:30
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Noch ein Gedanken zur “Barbier ist Frau, easy”:

Setzen wir mal voraus: Frauen rasieren sich nicht (geht ja hier um Barthaar)
Dann sind folgende Aussagen wahr:
1) Frauen kümmern sich selber um ihre Rasur
2) Frauen gehen zur Barbierin um sich rasieren zu lassen

Demnach wär eine Frau in keine der beiden “komplementär” Mengen. Und es gäbe einen neuen Widerspruch 🙂


O.
20.5.2013 2:09
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@Andena:
“In gewisser Weise hat die “Mathematik-KritikerIn” sogar Recht. In wirklich guten Büchern zu den Grundlagen der Mathematik fehlen bis zum Kapital der Definition “Ganzer Zahlen” schlicht die Seitenzahlen.”

Ja?
Dann gib doch mal Literaturhinweise, wo das der Fall ist.


O.
20.5.2013 2:18
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@Hadmut:

“> In wirklich guten Büchern zu den Grundlagen der Mathematik fehlen bis zum Kapital der Definition “Ganzer Zahlen” schlicht die Seitenzahlen.

Sowas hab ich noch nicht gesehen, aber der ist gut. :-D”

Naja, die natürlichen Zahlen über Axiome zu definieren, deren Reihenfolge mit natürlichen Zahlen nummeriert ist, ist selbstreferentiell, und daher als Paradoxie aus der klassischen logik ausgeschlossen (Antinomieverbot).
Demnach hat man da schon ein Problem.

@Alex:
Zum Grundlagenstreit der Mathematik, und daß dieser wirklich gelöst sei, dazu gibt es auch weiterhin noch Widerspruch. “Kompromißlösung” trifft es wohl ganz gut. Also Gentlemen-Agreement (sowas kennen Frauen aber bekanntlich nicht ;-))

@Hadmut: Die Sache mit dem Barbier und ob er Dorfbewohner ist, mag die sprachlich unzurciehdne Darstellung der Schreiberin sein.
Laut Wikipedia ist es allgemeiner formuliert:
“Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur
jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?”


Knorka Kinte
20.5.2013 2:27
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DEr Barbier ist ein einfaches Paradoxon, der sich mit klassischer Logik nicht lösen lässt, aber mit recht vertrakten Logik-Kalkülen umgangen werden kann. Das weiß die Frau natürlich nicht.

Das ist die wichtigste Stelle von Hadmut:
“Ein Widerspruch ist ein Beweis, dass etwas falsch ist, aber der Beweis zeigt hier, dass der Barbier nicht die Wahrheit gesagt haben kann, nicht dass die Mathematik falsch wäre.

Trotzdem wollen sie das als Aufhänger nehmen um nachzuweisen, dass die Mathematik fehlerhaft sei. Dabei ist es bei Licht betrachtet der Beweis, dass die Mathematik korrekt ist, weil sie zu einer widersprüchlichen Aufgabe keine Lösung liefert, sondern den Widerspruch aufzeigt.”


Knorka Kinte
20.5.2013 2:31
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Hadmut, wo treibst du solch einen Schwachsinn eigentlich immer auf?


O.
20.5.2013 2:32
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Die Mathemaik und Logik, oder allgemeiner formuliert, die formalen Methoden, sind nicht falsch, aber werden teils falsch angewendet, bzw sind für viele moderne Probleme nicht mehr hinreichend, da sie selbstreferentielle Systeme nicht widerspruchsfrei modellieren können.

Statt zu sagen
“die Mathematik ist falsch, weil sie ein reales Problem nicht modelieren können”,
oder darauf zu kontern:
“das Problem ist falsch gestellt, weil die Mathematik/Logik es nicht lösen kann”
müsste/könnte man auch auf folgendes kommen:
“Das reale Problem ist mit den herkömmlichen mahematisch-logischen
Formalismen nicht lösbar; also sollten die formalen Methoden
erweitert werden, damit sie auch solche Probleme formal
(vollständig und widerspruchsfrei) lösen können”.

Dazu:

Arbeitstext: Rudolf Kaehr u.a.

Polykontexturale Logik
– Zur Konzeption, Formalisierung und Validierung –

http://www.vordenker.de/rk/rk_polykont-logik-konzept-formal-valid.pdf


Knorka Kinte
20.5.2013 2:47
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Und nochmal zum Dritten:
Die Autorin und Gliechgesinnte sind einfach zu dämlich, ihre eigene Dämlichkeit zu erkennen. Würden sie den Formalismus beherrschen, würden sie ja sehen, dass sie bei der Lösung Stuss gemacht haben. Das Problem ist: Ein eindeutiger Formalismus macht Wortklauberei und beliebiges Uminterpretieren unmöglich.

Deshalb lehnen Feministinnen wahrscheinlich auch Formalismen generell ab, würde ich vermuten.


Wolfgang Keller
20.5.2013 3:07
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Zitat Alex

“* Aussagenlogik und Mengenlehre gehören mittlerweile streng zusammen, daher macht das keinen Sinn, hier eine künstliche Trennung zu erwarten (moderne Quellen können dort nicht unterscheiden, “mathematische Logik” ist “Mengenlehre” – und das schließt den einfachen Bereich der Aussagenlogik mit ein)”

Die Mengenlehre nach Zermelo-Fraenkel wird im Allgemeinen über der Prädikatenlogik (siehe z. B. http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Die_Axiome_von_ZF_und_ZFC) formuliert – sicherlich nicht über Aussagenlogik. Vielmehr benötigen wir – wenn ich dies auf die Schnelle richtig überblicke – sogar Prädikatenlogik 2. Ordnung (für das Aussonderungsaxiom).

Außerdem: heutzutage gibt es in der Mathematik Tendenzen die Mengenlehre durch Kategorientheorie zu ersetzen (einen Überblick, wie sich die Mengenlehre – für den Fall, dass man sie dennoch benötigt – mittels Kategorien ausdrücken lässt, findet sich beispielsweise in Saunders MacLane – Categories for the Working Mathematician).

Beides zeigt auf, dass Aussagenlogik und Mengenlehre sicherlich nicht streng zusammengehören.


Carsten
20.5.2013 4:04
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Das ist nichts neues.

Schon vor über 20 Jahren kamen regelmäßig Pamphlete auf, die Stimmung gegen die Schulmathematik machten. Mathematik sei nichts wichtiges, bräuchte man gar nicht usw.

Es dürfte sich wohl um einen Teil des systematisch organisierten Bildungsabbaus handeln.

Mathematik ist das Fach, bei dem es um logisches Denken geht. Ein Volk, das logisch denken kann, scheint jedoch in einigen Kreisen unerwünscht zu sein. So wurde das Schulfach Mathematik mittlerweile auf reine Anwendungsorientierung reduziert.


Lohengrin
20.5.2013 6:49
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> Wie man Biologie studiert haben und trotzdem an diesen Gender-Unfug
> glauben kann, habe ich bisher nicht nachvollziehen können.

Erstens braucht man, um einen Doktor in Biologie zu bekommen, keine Ahnung von Biologie zu haben. Es gibt wichtigere Gründe als Fachwissen.
Und zweitens ist unklar, was die Frau Doktor der Biologie glaubt. Sie erzählt das, was ihre Geldgeber hören wollen, und ist deswegen inzwischen Frau Gastprofessor zu Geschlecht und Naturwissenschaften. Als Biologe wäre sie vllt nur Laborratte.


Andena
20.5.2013 8:14
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Das Problem mit dem Barbier-Rätsel ist eher, dass die Mengendefinition falsch ist. Neben den beiden obigen Mengen A und B wurde die Menge C “Leute, die rasieren und rasiert werden” und D “Leute, die überhaupt keine Rasur bekommen” ausgeklammert.

Im Ergebnis muss dann das Rätsel in einem scheinbaren Widerspruch enden, da der Barbier zur oben nicht definiterten Menge C und seine Frau zur Menge D gehört.

#nurmalso


Hadmut
20.5.2013 9:51
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@Andena:

> Das Problem mit dem Barbier-Rätsel ist eher, dass die Mengendefinition falsch ist.

Eher nicht, denn “sich selbst rasieren” ist eine Aussage, und “sich nicht selbst rasieren” ein Komplement davon. Das ist schon in Ordnung. Aber die Aussage über den Barbier, wen er rasiert, die ist eben falsch und widersprüchlich.


Gast
20.5.2013 9:02
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Außerdem hat die Dame zwar den Gender-Aspekt in ihrer Lösung, scheint aber keine Sensibilität für andere Herrschaftsformen, die sich im Barbierhandwerk ausdrücken, wie auch die Migrantenproblematik zu haben. Als Ergänzung hier die Beobachtung: Die türkischen Barbiere in meiner Straße rasieren sich gegenseitig. Wie sich Schwule, Lesben und Queers beim Barbier verhalten, muss noch untersucht werden.


Hadmut
20.5.2013 9:46
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@Gast: Ja, und überhaupt, Rasieren durch Ansetzen des Messers an anderer Leute Hals ist ja auch nur ein Ausdruck männlicher Machtphantasien, und sich von anderen rasieren zu lassen ist Ausübung von Herrschaftsdenken und muss als Geschlechtersteretyp hinterfragt und dekonstruiert werden. Es muss besprochen werden ob Rasieren auch als soziologisch-gesellschaftliches Konstrukt verstanden werden kann.


Thomas M.
20.5.2013 9:40
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In Berlin wimmelt es nur so von in jeglicher Hinsicht Unqualifizierten, die sich grob in zwei Kategorien aufteilen lassen: in solche mit und solche ohne Abschluss.


Herrmann
20.5.2013 10:03
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1.
Die Lösung des Barbierparadoxons findet sich in der Fuzzy-Logik. Er gehört zu beiden Mengen, wobei die charakteristische Funktion jeweils 0,5 beträgt.

2.
Es ist doch Grundlagenwissen, dass in der Aussagenlogik/Prädikatenlogik sehr wohl Terme bilden lassen, die unter keiner Belegung wahr sind. So far, so good, so what! Hier noch einer: Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er selbst ihn nicht hochheben kann?
Keine Widerlegung der Gottesexistenz oder der mathematische Logik, sondern ein unbelegbarer logischer Term.


Hadmut
20.5.2013 10:09
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> Die Lösung des Barbierparadoxons findet sich in der Fuzzy-Logik. Er gehört zu beiden Mengen,

So’n Schwachsinn.


hlb
20.5.2013 10:07
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Wieder mal interessant was für ein Schwachsinn an deutschen Unis möglich ist. Dort haben einige Irre freie Hand um weitere Irre zu produzieren. Da sieht man mal wieder was “politsch korrektes” Handeln für einen gefährlichen Unsinn anstellen kann, gerade an Unis würde man solchen Unsinn nie für möglich halten, die scheinen aber eine ideale Brutstätte zu sein. Dieser Genderschwachsinn wurde über solche Einrichtungen massgeblich multipliziert.


Herrmann
20.5.2013 10:19
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“So’n Schwachsinn.”

Erklär’ mal …


Hadmut
20.5.2013 10:42
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> Erklär’ mal …

Hier ging’s um eine zweiwertige Logik, und Fuzzy Logic ist was völlig anderes, nämlich genaugenommen gar keine Logik, sondern ein Rechenkalkül, dessen Bezeichnung als »Logik« etwas irreführend ist.

Das hat hier mit der Aufgabenstellung überhaupt nichts zu tun und beruht darauf, einfach eine ganz andere Aufgabe zu betrachten als die, die man nicht lösen kann, und liegt damit in ungefähr derselben Dämlichkeitsklasse wie der Vollbart oder der weibliche Barbier. Einfach irgendwas daherschwätzen, was auf Verbalebene irgendwie befriedigend klingt.

Was soll das dann überhaupt sein, ein Barbier, der sich zu 50% selbst rasiert?

Soll das dann ein Barbier werden, der sich die linke Gesichtshälfte selbst rasiert und die andere rasieren lässt? Oder sich nur an geraden Tagen selbst rasiert?

“Er gehört zu beiden Mengen” ist doch nur geistloses Blabla und löst das Problem überhaupt nicht.

Davon abgesehen ist der Barbier ja nur die Veranschaulichung, tatsächlich ging es um das Mengenproblem, und da passt Fuzzy überhaupt nicht.

Hier mit Fuzzy Logic zu kommen ist schlichtweg Thema verfehlt, Aufgabe nicht verstanden.


Herbert
20.5.2013 10:41
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@Herrmann: kannst du 2. bitte näher erläutern? Für mich sieht das so aus:
A)Annahme: Gott ist allmächtig
Folgerung 1) er kann alles hochheben es kann nichts geben, das er nicht hochheben kann
Folgerung 2) er kann alles erschaffen es kann nichts geben, das er nicht erschaffen kann

aus 1) folgt eben nun, dass es keinen Stein geben kann, den er nicht hochheben kann
das widerspricht 2)

demnach ist die Annahme A falsch


Herrmann
20.5.2013 11:04
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“Hier mit Fuzzy Logic zu kommen ist schlichtweg Thema verfehlt”
Wenn Du das sagst, großer Meister.
Ich sage lediglich, dass die Lösung außerhalb der Prädikatenlogik liegt. Mehrwertige Logiken sind ja nix neues. Fuzzy ist da lediglich der letzte Schrei. Zadeh sei Dank.

“Das hat hier mit der Aufgabenstellung überhaupt nichts zu tun und beruht darauf, einfach eine ganz andere Aufgabe zu betrachten als die, die man nicht lösen kann”
Das kann man über ganz viele Teilgebiete der Mathematik sagen. Qualifiziert es sie deswegen ab? Was Frau Hartmann abqualifiziert ist das Fehlen eines alternativen Kalküls. Gar nicht zu denken, ist die feministische Lösung.


Hadmut
20.5.2013 15:21
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@Hermann: Man kann eine Aufgabe nicht lösen, wenn man sie nicht verstanden hat oder sie bewusst ignoriert und jur ertwas vorschlägt, was sich rein aus verbaler Ebene ähnlich anhört.

Und da hilft es auch nicht weiter, auf polemisch oder beleidigt zu machen.

Und es ist auch keine Lösunf, einf einen Begriff wie Fuzzy Logik in den Ring zu werfen nach dem Motto “Herr Lehrer, ich weiß was!” Da müsste man schon nachweisen, dass darin eine Lösung der Aufgabe und nicht nur irgendein Blabla liegt. Und das hast Du nicht getan.


Herrmann
20.5.2013 11:05
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“tatsächlich ging es um das Mengenproblem, und da passt Fuzzy überhaupt nicht. ”
Zum Glück haben Mengen mit Funktionen nichts zu tun …


Juergen Sprenger
20.5.2013 11:06
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In der Aufgabenstellung wird die Zahl der Barbiere im Dorf nicht erwähnt.

Aus dem Satz ‘Ein Barbier gibt bekannt,…’ ist weder die Zahl der Barbiere im Dorf eindeutig bestimmt, noch ob die Behauptung des einen Barbiers auf alle Barbiere im Dorf zutrifft.

Bei mehr als einem Barbier lässt sich das widerspruchsfrei lösen.


Hadmut
20.5.2013 15:23
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@Juergen: Und wie sollte diese Lösung ausehen?


Alex
20.5.2013 11:18
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So – gerde den zweiten Teil gelesen.
Der ist ja grottig.

Einer meiner Favouriten:
> Für die unangreifbare Integrität von Männlichkeit ist es unverzichtbar,
> Gödels Satz, der die Legitimierung formalistischer Mathematik grund-legend in Frage stellt,
> nicht als eine Krise mit den Konsequenzen einer Krise zu lesen.

So viel Murks, das schaffen nichtmal Erstis im Vollsuff.

Und dann noch mal dies bosartigkeit:
> Den Großteil des Erfolges wissenschaftlicher Arbeit konnten nach wie vor Männer verbuchen,
> sei es aus politischen, sozialen oder ökonomischen Gründen.

Wie wäre es, weil sie die Arbeit gemacht haben?
Das schöne am “Personenkult” der Mathematik ist doch gerade, dass Leistung demjenigen zugeordnet wird, der sie erbracht hat. Das ist sowohl fair als auch objektiv.
(Nur halt offensichtlich nicht gleichgestellt)


Thomas
20.5.2013 11:26
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Mal ganz abgesehen von dem Aufhängerproblem, dessen Analyse mir einen schönen Knoten ins Hirn gebastelt hat, ist doch schon der Stil einfach nur erbärmlich. Man ergeht sich in einer umfänglichen Bleiwüste in verschwurbeltem Fremdwort-Bingo, und das Machwerk schließt mit einer Ellipse im Realschul-Raucherecken-Stil: “Easy.” Boah Krass Alter ey, du bist voll blöd! Is doch alles easy!

Vermutlich hat nichtmal die sich verantwortlich zeichnende Oberpriesterin dieser Schwurbelsekte dieses Machwerk vollständig gelesen. Oder aber Kritik an sowas gilt als männlich, weil es ja die Betschwester in ihrer persönlichen Entfaltung einschränkt…


DarkMetatron
20.5.2013 11:45
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Ich frag mich wo das Problem ist:

In seinem Beruf als Barbier rasiert alle seine Kunden. Und dann macht er Schluss, wird zur Privatperson “Erwin Müller” und rasiert sich selbst.

Easy! 😉


Full xD
20.5.2013 12:28
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“Ein Barbier gibt bekannt, alle Menschen aus dem Dorf zu rasieren, …” Leider habt ihr Spezies hier nicht mitbekommen, dass erst durch die angebliche Feministin Johanna Hartmann das Beispiel frauenfeindlich wird, weil sie unterstellt nur “Männer” gehören zur Kundschaft des Barbiers. Das wird aber nicht behauptet, sondern explizit sind “Menschen” benannt. Dazu könnte auch dieser Mensch gehören: http://youtu.be/JhjDUnsL45U
Hadmuts Beitrag ist wieder ein unfreiwilliger verspäteter Aprilscherz. Männerrechtler stecken in einer ähnlich irrationalen Filter bubble wie deren Gegner. Stattdessen ist Augenmerk bei Kritik zum Entlarven des Genderismus in erster Linie darauf zu legen, wie durch Feminazis erst massiv Frauenfeindlichkeit in die Welt gesetzt wird. Frei nach Heinrich Heine: Dort wo man Frauenpuppen verbrennt, verbrennt man auch am Ende Menschen. http://www.bild.de/news/inland/femen/berlin-barbie-haus-femen-protest-klara-martens-spricht-30436008.bild.html Vor genau 80 Jahren verbrannten an jenem Tag die Nazis in Berlin und rund 20 weiteren deutschen Städten die Bücher von rund 130 Autoren.


“Der Barbier ist eine Frau. Easy.”
Hadmut, Du hat mit Satire gelegentlich Probleme. Daß das keine Lösung im mathematischen Sinne ist steht doch drüber.
“Die Lösung dafür ist simpel, aber dennoch (bisher) nicht innerhalb des Rahmens mathematischer Lösungsvorschläge möglich.”
Aber dieses ‘bisher’ — AUA — Satirifizierung muß her!

Kennt Ihr das Bild, wenn ein Clown rückwärts auf einem Esel sitzend in die Manege reitet und laut schreiend fordert, man möge doch den Kopf vorn anschrauben?

Das ist ein konstruiertes Problem, das sich aus der Selbstbezüglichkeit ergibt. Nicht rekursive Mathematik läßt sich sicher in weiten Grenzen widerspruchsfrei gestalten und auf Axiomen aufbauen. Die Erkenntnis, daß herkömmliche Auffassung von Logik ihre Grenzen in rekursiven Problemstellungen findet ist schon älter: “Alle Kreter sind Lügner!” Es ist der Selbstbezug, die Rekursion. Erst wenn man das Problem klar benannt hat kommen auch Lösungen in Sicht.

Zum Paradox kommt es, wenn ein Element Teil einer Menge sein soll, deren Eigenschaftszuweisung es selbst übernimmt. Das ist eben keine lineare Logik mehr. Das, die Rekursion, muß man ausschließen oder eine neue Logik konstruieren.

Jedes rekursive Programm braucht Abbruchbedingungen. Für normale Logik muß in der ersten Stufe abgebrochen werden. Rekursion ist nicht zulässig. Leider hat niemand im Universum die Rekursion abgeschaltet. Deshalb hat eine axiomenbasierte Mathematik oder Logik auch diese Probleme mit der Welt, sie ist entweder widerspruchsfrei oder adäquat — Gödel hats bewiesen.

Alle werden von anderen rasiert — außer dem Barbier. Auch wenn es mehrere Barbiere gäbe, dann gäbe es nicht zwangsläufig ein Problem. Es ist eben ein konstruiertes Problem, das im wirklichen Leben nicht vorkommt. Wer kontrolliert den Kontrolleur? Im realen Leben kontrolliert der sich selbst(Vorsicht Hadmut).

Der Hinweis auf Fuzzy sollte sicher die zweiwertige Logik hinterfragen, obwohl mit Fuzzylogik mehr verbunden wird, zum Beispiel der Klauselaufbau.

Welche Kapitel der Mathematik müssen denn vor der Definition der natürlichen Zahlen stehen? Man beginnt mit Seite 1 und erklärt die natürlichen Zahlen anhand der Seiten — ganz ohne Äpfel und Birnen.

Carsten

“Pfaffe am Morgen,
bringt Kummer und Sorgen.”
Liselotte Pulver


georgi
20.5.2013 14:41
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Hadmut!

Das Barbier-Problem, genau wie das Kreter-Problem sind keine Aufgaben, sondern Exploits. Exploits sollen Fehler demonstrieren, in diesem Falle Fehler in Freges Kalkülen. Man meint ja immer, irgendeine Aussage ist genau eines: falsch oder richtig. Wenn man auf dieser Grundlage einen formalen Kalkül formuliert, dann kann man zu Widersprüchen gelangen. Darauf wollte Russell hinaus. Freges, Cantors und Russells Ziel war ja, einen widerspruchsfreien Kalkül zu entwerfen, mit dem die gesamte Mathematik formalisiert werden kann. Den gibt es bis heute nicht. Bzw. weiß man bis heute nicht, ob das, was wir heutzutage als Grundlage der Mathematik verwenden, also Zermelo-Fraenkels Mengentheorie, widerspruchsfrei ist.


[…] Feministische »Mathematik« des Tages (oder besser: ideologische Idiotie_in des Tages): Auch wenn es sich bei dem Beispiel mit dem Barbier lediglich um ein Bild handelt und die Lösung des…. […]


knallfrosch
20.5.2013 15:37
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ist doch ganz einfach. die aussage des barbiers ist falsch, also kann es keine “richtige” lösung geben. die unlösbarkeit belegt die falschheit der aussage.


Hadmut
20.5.2013 15:42
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@knallfrosch: Völlig richtig. Genau das.

Erstaunlicherweise wollen verblüffend viele Leute aber partout irgendeine Lösung herbeireden, egal obs dann stimmt oder nicht.

Den Effekt, dass Leute ein “geht nicht” nicht einsehen und lieber falsche oder emotionale Lösungen erzwingen wollen (wie es ja letztlich auch die Autorin macht, wenn sie der Mathematik die Schuld für die Unlösbarkeit gibt), hab ich schon oft beobachtet. Viele Leute ziehen eine falsche Lösung der Einsicht in die Unlösbarkeit vor, weil dieses abstrahierte Denken fehlt, selbst wenn das dann in pseudomathematische Worte verpackt wird.


Herbert
20.5.2013 15:53
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@Hadmut: da sagst du etwas richtiges! Im Prinzip jedes Mal, wenn ein Exemplar des allergrößten Anteils an Menschen auf ein abstraktes/philosophisches Problem stößt, bei dem die einzig ehrliche Antwort “weiß ich nicht” oder “geht nicht” wäre, wird eine irrationale Lösung herbeigewünscht.
So auch bei Religion – woher kommt das Universum? “Wissen wir nicht” – das kann ja nicht sein! Also war es ein magischer alter Mann im Himmel.
Oder bei schwierigen Fragen der Ethik, wofür leben wir, warum ist XY unethisch, und insbesondere: WAS IST GUT UND WAS IST BÖSE(bzw richtig und falsch, gut und schlecht)? Kommt dann “es gibt kein gut und böse”. “Es gibt kein richtig und falsch”. Und im nächsten Satz sagen sie “nein das stimmt nicht” o.Ä. und merken nicht, dass sie selbst gerade eben gezeigt haben, dass es richtig und falsch eben doch gibt *rolleyes*


knallfrosch
20.5.2013 16:04
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Hadmut
20.5.2013 16:58
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@knallfrosch: Ja, in der aktuellen ZEIT (Papier) ist auch ein großer Artikel darüber, ich hab ihn aber noch nicht gelesen.


tph
20.5.2013 16:52
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Wenn Gödel und Unvollständigkeitssatz in einem Text vorkommen, kann man fast sicher von einer weiteren Bestätigung für Sturgeons Gesetz ausgehen: “ninety percent of everything is crap” und Dennets Ratschlag folgen: “A good moral to draw from this observation is that when you want to criticise a field, a genre, a discipline, an art form …don’t waste your time and ours hooting at the crap!”
http://www.guardian.co.uk/books/2013/may/19/daniel-dennett-intuition-pumps-thinking-extract

p.s. Dijkstras Lösung des Barbier-Problems…
“y : (Ai : i is a villager : i ? shaver.i ? y = shaver.i )
and that equation has no solution. Conclusion: the village has no barber. Where is the paradox?”
http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD09xx/EWD923a.html


Conny
20.5.2013 17:12
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@hlb:

Das ist der “Marsch durch die Institutionen”.

Die 68er haben genau gewußt, was sie als erstes unterwandern müssen.


Herrmann
20.5.2013 18:25
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“darin eine Lösung der Aufgabe und nicht nur irgendein Blabla liegt”

Erst lesen, dann denken und dann poltern.
Die Lösung habe ich angegeben, sie ist aber außerhalb der binären Prädikatenlogik. Es ist kein Widerspruch zu dem von Dir gesagtem. Wo in der Aufgabenstellung steht, dass die charakterische Funktion einen Wertebereich von lediglich {0,1} hat?

Es gilt: \mu_{selfshave}(x) = 1 – \mu_{barbershave}(x)
Für den Fall baber=self folgt also 1 – \mu_{barbershave}(x) = \mu_{barbershave}(x) was für {0,1} wertige Funktionen keine Lösung hat, aber in irgendeiner mehrwertigen Logik vielleicht. Wertebereich [0,1] liefert \mu(x) = 0,5. Ob das im Sinne des Erfinders ist, lasse ich mal dahingestellt.


Hadmut
20.5.2013 18:35
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Wieso gilt das? Was soll das für eine Lösung sein? Was hat der Quark mit der Aufgabenstellung zu tun?

Man kann doch nicht einfach willkürlich eine Gleichung hinschreiben, einfach behaupten “Es gilt” und das für eine Lösung halten. Wo soll da der Zusammenhang mit der Aussage des Barbiers sein?


Michl
20.5.2013 18:39
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> Und damit beruht das Paper nur auf dem Zirkelschluss, dass sie Mathematik für falsch hält, weil sie sie nicht verstanden hat, und die Befassung mit Mathematik für entbehrlich hält, eben weil sie ja falsch ist.

Du hast Recht. Aber warst Du es nicht, der den Zirkelschluss beiseite schob, als ein Kommentator Dich darauf hinwies, dass das von Dir als gegeben angesehene Recht auf einem Zirkelschluss beruht und Dir das nicht gefallen hat? Oder habe ich da was falsch verstanden? Weiß jetzt nicht mehr bei welchem Thema, war aber erst neulich.

> Fixiertheit auf ein männliches Erkenntnissubjekt und auf Männlichkeit als Lösung verdeutlicht.

Das Männlich-Geplapper ist natürlich Schwachsinn. Hat mal jemand untersucht ob ein psychisches Problem die Ursache für Gender sein kann? Erinert mich sehr an psychische Krankheitsbilder? Allerdings wenn hier einer auf eine Erkenntis fixiert ist, die es wie Hadmut erläutert hat gar nicht gibt, ist das wohl sie. Die Möglichkeit keiner Lösung schließt sie einfach aus.

> Der Barbier ist eine Frau. Easy.

Aha, verstehe. Dann sind die Gender-Typen alle weiblich und unrasiert, weil es bei weiblichen Barbieren keine Rasurmöglichkeiten gibt oder sie das ablehnen? Wie kann die das überhaupt behaupten? Wenn der abrbier eine Frau wäre, müsste er doch Barbierin heißen, das labern die doch immer, er kann also gar keine Frau sein.


Hadmut
20.5.2013 18:42
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@Michl:

> Aber warst Du es nicht, der den Zirkelschluss beiseite schob, als ein Kommentator Dich darauf hinwies, dass das von Dir als gegeben angesehene Recht auf einem Zirkelschluss beruht

Ich habe ihn nicht „beiseite geschoben”, sondern den Kommentar für falsch gehalten. „Zirkelschluss” ist kein magisches Buzzword, das man nur nennen muss und automatisch Recht hat.

Und nur weil ich hier einen Zirkelschluss sehe, muss ich noch lange nicht jeden Kommentar für richtig oder nachvollziehbar halten, nur weil jemand darin das Wort „Zirkelschluss” verwendet. Oder soll ich das dann alles ohne nachzudenken blanko akzeptieren?


Herrmann
20.5.2013 18:51
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“Man kann doch nicht einfach willkürlich eine Gleichung hinschreiben, einfach behaupten “Es gilt” und das für eine Lösung halten. ”

Wieso hat ein Diplominformatiker plötzlich Probleme mit charakteristischen Funktionen? Verwunderte Grüße.


Hadmut
20.5.2013 18:59
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> Wieso hat ein Diplominformatiker plötzlich Probleme mit charakteristischen Funktionen?

Aha. Wenn jemand etwas behauptet, was nicht zur Aufgabe passt, und es nicht erklären kann, dann haben die Zuhörer „plötzlich Probleme”, wenn sie es nicht glauben.

Das, was Du schreibst, ist keine „Charakteristische Funktion”. Und es hilft Dir auch nichts, wenn Du denselben Fehler, nämlich einfach ohne jede Begründung irgendeinen Fachbegriff irgendeines anderen Fachgebiets zu rufen, wiederholst. Du kannst hier noch hunderte Fachbegriffe rumwerfen, es wird nicht richtiger, solange Du keinen Zusammenhang mit der Aufgabenstellung und keine Lösung darstellen kannst.

Es ist einfach nur dämlich, hier mit irgendwelchen Begriffen aus dem Mathelexikon rumzutrollen.


Michl
20.5.2013 19:00
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Naja, Du sagst dass das Paper auf einem Zirkelschluss beruht, was suggeriert dass Du es deshalb für falsch hältst. Sonst müsstet Du es ja nicht sagen. Dann kannst Du einen anderen Zirkelschluss nicht ohne diese Konsequenz zur Kenntnis nehmen. Er war ja nicht nur verwendet, sondern begründet und m.E. nicht zu leugnen. Bei dem bisschen, was ich über Logik-Theorie irgendwann mal gelernt habe, war nichts was eine verschiedene Gewichtung von Zirkelschlüssel zulassen würde. Sie haben das Argument alle ad absurdum geführt. Kien Buzzword, aber ein Buzzfact.


Hadmut
20.5.2013 19:12
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@Michl:

Quatsch. Unterstell mir bitte nicht Deine eigenen Denkfehler.

Ein Zirkelschluss heißt nicht, dass das Ergebnis notwendigerweise falsch ist, sondern dass die Schlussfolgerung falsch ist und das Ergebnis eben nicht nachvollziehbar gefolgert ist.

> Dann kannst Du einen anderen Zirkelschluss nicht ohne diese Konsequenz zur Kenntnis nehmen.

Blödsinn. Ein Zirkelschluss liegt erstens nicht schon dann vor, wenn jemand das Wort „Zirkelschluss” ruft. Es war nicht begründet. Und zweitens ging es um ein Thema, das mich da nicht interessiert hat. Ich lass mich doch nicht mit solchen Buzzwords in eine themenfremde Diskussion ziehen. Unterhalt Du Dich doch mit dem, wenn Du Lust dazu hast.

Aber schreib mir gefälligst nicht vor, worüber ich mich in meiner Freizeit zu unterhalten habe und wofür ich meine Zeit aufzuwenden habe.

Wenn Du mir einen ordentlichen Stundensatz zahlst, werde ich mich um Themen kümmern, die Du (oder jemand anders) mir vorgibt. Zahlst Du nicht, beschäftige ich mich nur mit Themen, die mich interessieren. Ich wüsste nicht, warum ich hier als Tanzbär zu jedem Thema zu tanzen hätte, das irgendwer bei mir loswerden will. Ich bin doch hier nicht der Hampelmann, der auf Bestellung tanzt.

Und nun hör auf, hier rumzutrollen und Kommentar-Ping-Pong zu spielen. Du nervst, stiehlst mir Zeit und bringst keinen Nutzen.


Herbert
20.5.2013 19:14
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@Herrmann: ich hatte oben eine Frage an dich gestellt, bitte geh doch darauf ein, interessiert mich 🙂 es fehlen übrigens “Äquivalenzzeichen” in den Folgerungen, anscheinend werden kleinergleich-, genaugleich- und größergleich-Zeichen hier rausgefiltert.


Alexander
20.5.2013 20:25
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@Hadmut:
Bei deinem Nachtrag habe ich ein Verständnisproblem. Da die Russel-Antinomie keine Menge ist, macht die Bildung des Komplements davon keinen Sinn.
Also muß man die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten explizit konstruieren. Mir fällt gerade kein Beispiel ein für eine Menge, die sich selbst enthält. Könntest Du bitte eine solche Menge angeben?


Luc
20.5.2013 21:00
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@Michl:

In der von dir in bezug genommenen Diskussion hat ein Kommentator erklärt, dass man Gesetze nur in Zirkelschlüssen legitimieren könne und sie deshalb gar nicht legitim seien.

Er hat dort auch auf Nachfrage nicht begründet, was in dem Gedankenspiel überhaupt ein tatsächlicher Zirkelschluss sein soll. Er hat es einfach so genannt (Buzzword).

Deshalb kannst du schlecht Hadmut hier vorwerfen, er habe einen bewiesenen Zirkelschluss an irgendeiner anderen Stelle übergangen.

Insbesondere wäre ich da vorsichtiger, wenn du selbst von dir sagst, Logik-Theorie nur aus der Ferne zu kennen 😉 Dafür ist ein zweierlei-Maß-Vorwurf eben ganz schön hart und nicht ganz unverständlich, wenn Hadmut harsch darauf reagiert.


rb
20.5.2013 21:21
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Was sich hier in einigen Kommentaren deutlich zeigt, ist, um es deutlich zu sagen, daß man die Klappe halten sollte, wenn man keine Ahnung hat. Also genau das, was eingangs des hier diskutierten genderistischen Elaborats explizit abgewiesen wird.

Dieses Barbier-Paradoxon war (wie schon gesagt wurde) von seinem Urheber Russell nicht als Problem, und schon gar nicht als ungelöstes, eingeführt worden, sondern als Hilfestellung für solche, denen sich bei dem Paradoxon der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, das Hirn verknotet. Die übliche Erzählung ist nun, daß dieses letztere, als Russellsches bezeichnete Paradoxon die Cantorsche Mengenlehre und damit die Mathematik in eben diese Grundlagenkrise gestürzt habe. Diese Erzählung ist (entsprechend der mathematischen Gewohnheit, mit der Historie des Faches sehr viel schlampiger umzugehen als mit der Substanz) ziemlich sicher falsch.

Es sind da zwei Dinge zu unterscheiden: Die Frege-Russellschen logizistischen Theorien und die Cantorsche Mengenlehre. Frege, der heute als so etwas wie der bedeutendste Logiker seit Aristoteles gilt, war zu Lebzeiten als untergeordneter außerplanmäßiger Professor in Jena (im Gegensatz zum feministischen Aberglauben wurde auch damals nicht jeder Mann ein großer Chef) mit der Frage beschäftigt, was Zahlen eigentlich seien. Die Prosafassung seiner Erkenntnisse steht in den “Grundlagen der Arithmetik”, wo erst einmal die vorhandenen Versuche zur Beantwortung dieser Frage zerlegt werden und Frege dann seine eigene Konzeption informell darstellt. Er hat außerdem eine formale Darstellung ausgearbeitet, unter dem Titel “Grundgesetze der Arithmetik” basierend auf seiner “Begriffschrift”, dem ersten prädikatenlogischen Kalkül. Und just als er damit nach einigen Jahrzehnten fertig war, kam Russell mit seinem Paradoxon daher. Frege faßte etwa die Zahl 2 auf als Inbegriff aller Begriffe, unter die ein Objekt fällt, sowie ein weiteres von diesem verschiedenes Objekt aber sonst kein Objekt. Anders gesagt: “Zwei” ist die Menge aller zweielementigen Mengen (aber man kann das so nicht ausdrücken, weil im Definiens das Definiendum nicht auftreten darf). Diese Fregesche Theorie der natürlichen Zahlen gerät angesichts des Russellschen Paradoxons in Schwierigkeiten.

Etwas ganz anderes als solche logizistischen (die Zahlen bzw. die ganze Mathematik auf die Logik zurückführenden) Theorien stellen Konstruktionen von Mengenuniversen dar, in denen Mathematik getrieben werden kann. Das ist zwar nicht das, was Cantor gemacht hat, sondern Zermelo, auf Cantors Theorie explizit aufbauend und diese axiomatisierend. Man nimmt “Urelemente”, und stellt Regeln auf, wie man aus diesen Mengen bildet, und iteriert diese Mengenbildung. Es genügt, mit einem Urlement zu beginnen, der “leeren Menge”, die kein Element enthält. Weitere Mengen werden gebildet insbesondere in Form der Potenzmenge, also der Menge aller Teilmengen einer bereits vorhandenen Menge. Und durch “Aussonderung” der Elemente aus einer vorhandenen Menge, die eine gegebene Eigenschaft erfüllen. Die leere Menge hat zwei Teilmengen, einmal wieder die leere Menge, zum anderen die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist. Durch diese zwei Regeln erhält man nun schon ein beträchtliches Sortiment an “ineinandergeschachteltem Nichts”, und man kann anfangen, in diesem Mengenuniversum die vorhandene Mathematik zu rekonstruieren: Die Zahl 0 ist die leere Menge, 1 ist die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist usw. (man kann das auch anders machen, aber diese sog. Zermeloschen Ordinalzahlen sind die einfachste Möglichkeit). Außerdem muß man noch explizit irgendeine unendliche Menge dazunehmen, etwa die Menge aller Zermeloschen Ordinalzahlen. Und ein paar andere Kleinigkeiten müssen noch eingebaut werden. Dann erhält man ein Mengenuniversum, das zwar gigantisch ist, in dem man die reellen Zahlen nachbauen, Analysis und sogar Fuzzy-Logik treiben kann usw., aber in dem so etwas wie eine “Menge aller Mengen” weit und breit nicht zu sehen ist. Solche Dinge gehörten bei Cantor einem (nicht näher spezifizierten, aber außerhalb seiner Mengentheorie liegenden) “Absolut-Unendlichen” an, und dementsprechend haben ihn die mengentheoretischen Paradoxien (die er teilweise, zwar nicht die Russellsche, aber andere) kannte, nicht sonderlich beunruhigt.

Die heute gängigste Mengentheorie in der Mathematik ist ZFC (Zermelo, Fraenkel, axiom of Choice), und zwar über der Prädikatenlogik 1. Stufe, was “technische” Gründe hat (Prädikatenlogik höherer Stufe ist in verschiedener Hinsicht schwieriger zu handhaben), andererseits bedingt, daß unendlich viele Axiome benötigt werden; das Aussonderungsaxiom ist ein “Axiomenschema”, und zu jedem eine Eigenschaft der Elemente einer Menge beschreibenden prädikatenlogischen Ausdruck gibt es ein diesem Schema entsprechendes Axiom). In ZFC wird (analog der Folgerung, daß es einen Barbier der angegebenen Art nicht geben kann) aus dem Russellschen Paradoxon der Satz, daß es eine Menge aller Mengen nicht gibt.

Kurzum, die Leute, die sich das ausgedacht haben, haben da schon einige Arbeitsjahre hineingesteckt, und die waren auch alles andere als blöd. Die Crux bei Sachen, von denen man etwas verstehen muß, um mitreden zu können, ist, daß diejenigen, die sich grundlos einbilden, schlau zu sein, ihre tatsächliche Dummheit ja nicht bemerken. Und der Genderismus ist eine Blödmaschine, mit der sich mühelos beliebig viel Unsinn produzieren läßt – eine blöde Anmache derjenigen, die da tatsächlich daran gearbeitet haben, die der Anmache durch sexistische Herrenwitze an Unverschämtheit nicht nachsteht.


Hadmut
20.5.2013 21:29
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@rb:

> Und der Genderismus ist eine Blödmaschine, mit der sich mühelos beliebig viel Unsinn produzieren läßt – eine blöde Anmache derjenigen, die da tatsächlich daran gearbeitet haben, die der Anmache durch sexistische Herrenwitze an Unverschämtheit nicht nachsteht.

Und das tun sie derzeit rundum mit allen technischen Fächern, eben auch Informatik, Physik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen…


Wolfgang Keller
20.5.2013 21:25
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@Alexander

Es gibt keine Menge aller Mengen. Denn wenn es eine Menge aller Mengen gäbe, dann gäbe es nach der ZFC-Axiomatik auch

1. die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten
2. die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten

2. führt jedoch exakt auf die Russell’sche Antinomie. Daher ist die erste Lehre, die wir aus der Russell’schen Antinomie ziehen, die, dass es keine Menge aller Mengen geben kann, sondern nur die Klasse aller Mengen. Die zweite Lehre ist die, dass der Klassenbegriff den Mengenbegriff echt verallgemeinert.

Unter
> http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity#No_set_is_an_element_of_itself
findet man eine kurze Erläuterung, warum aus dem Regularitätsaxiom von ZF folgt, dass keine Menge ein Element von sich selbst sein kann.


Jens
20.5.2013 21:39
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“Die leere Menge hat zwei Teilmengen, einmal wieder die leere Menge, zum anderen die Menge, deren einziges Element die leere Menge ist.”

Äh, was bitte?


Wolfgang Keller
20.5.2013 21:40
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@Hadmut

Hast du ein Beispiel dafür, wo in Physik Genderismus erfolgreich Einzug erhalten hat? Nach meiner Beobachtung verbreitet sich die Gender-Lehre in erster Linie dann, wenn das Fach eine “weiche” Richtung besitzt (in Informatik z. B. Mensch-Maschine-Interaktion, Computer im Klassenraum, Soziale Folgen der Computerisierung etc.) – was ich bei Physik nicht sehe (da gibt es entweder knallharte Experimente (Experimentalphysik) oder knallharte Mathematik (Theoretische Physik)). Aber ich lasse mich gerne vom Gegenteil überzeugen, wenn du ein Beispiel für “Gender-Physik” liefern kannst…


Hadmut
20.5.2013 22:05
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@Wolfgang Keller: Gerade nicht griffbereit, aber es gibt Gender-Professorinnen in Physik, hat mir neulich jemand erzählt. Und Physik zählt ja zum Feindbild als männlich-evidenzbasierend und diskriminierend, wo eine Lösung als richtig privilegiert und alle anderen als falsch diskriminiert werden. Sie greifen jedes Fach an, in dem etwas richtig und anderes als falsch eingestuft werden könnte.

> (da gibt es entweder knallharte Experimente (Experimentalphysik) oder knallharte Mathematik (Theoretische Physik))

Das ist ja genau der Punkt, den die angreifen. Das ist männliches Machtgehabe, und hat nichts mit Forschung und Wissenschaft zu tun, sondern ist nur willkürliche Ausgrenzung von Frauen, weil Laborarbeit und Theorie den sozialisierten männlichen Geschlechterrollen entsprechen und solches eben nicht der Wahrheitsfindung, sondern dem Ausschluss von Frauen dient, und deshalb dekonstruiert werden muss. Meinen sie.

Deshalb ja auch die Gleichstellung, damit Frauen ganz ohne Experimente, Theorie und Ausbildung »gleichberechtigt« auf die Professuren kommen und genauso viele Drittmittel bekommen.

Experimente und Theorie war gestern, das ist ja nur männliches Rollen- und Machtgehabe.


anstaltszauber
20.5.2013 22:11
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Michl
20.5.2013 22:18
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@Luc
Er hat dort auch auf Nachfrage nicht begründet, was in dem Gedankenspiel überhaupt ein tatsächlicher Zirkelschluss sein soll. Er hat es einfach so genannt (Buzzword).

Ich habe zwei oder drei begründende Beispiele in Erinnerung, ganz ähnlich wie das was Hadmut als Begründung angeführt hat, müsste nachlesen was genau das war, weiß aber nicht mehr wo das war.

> wenn du selbst von dir sagst, Logik-Theorie nur aus der Ferne zu kennen

Ein Zirkelschluss ist ja wohl der einfachste Fehler in der Logik, den kennt jeder zur Gänze, der die Einführungsveranstaltung besucht hat.

@Hadmut
> Quatsch. Unterstell mir bitte nicht Deine eigenen Denkfehler.

> Ein Zirkelschluss heißt nicht, dass das Ergebnis notwendigerweise falsch ist, sondern dass die Schlussfolgerung falsch ist und das Ergebnis eben nicht nachvollziehbar gefolgert ist.

Den Denkfehler habe ich nicht gemacht, den unterstellst Du mir. Ich weiß das. Interessant an der Diskussion fand ich, dass Du das Ergebnis nicht begründen konntest, ich auch nicht, wenn es auch sonst niemand kann zeigt der Zirkelschluss dass Recht illegitim ist.

> Blödsinn. Ein Zirkelschluss liegt erstens nicht schon dann vor, wenn jemand das Wort „Zirkelschluss” ruft. Es war nicht begründet. Und zweitens ging es um ein Thema, das mich da nicht interessiert hat. Ich lass mich doch nicht mit solchen Buzzwords in eine themenfremde Diskussion ziehen. Unterhalt Du Dich doch mit dem, wenn Du Lust dazu has

Das meinte ich eben, Dir gefällt nicht, dass Recht illegitim ist. Er hat es nämlich schon begründet. Es hat Dir aber auch da nicht gefallen.

> Aber schreib mir gefälligst nicht vor, worüber ich mich in meiner Freizeit zu unterhalten habe und wofür ich meine Zeit aufzuwenden habe.

Macht doch niemand. Aber es wird mir doch noch auffallen dürfen, dass Du einen begründeten Zirkelschluss als unerheblich abtust und ein paar Tage später selbst einen ganz genauso begründeten zur Untermauerung Deiner Argumentation anführst.

> Und nun hör auf, hier rumzutrollen und Kommentar-Ping-Pong zu spielen. Du nervst, stiehlst mir Zeit und bringst keinen Nutzen.

Noch sowas. Erst über die Gender-Methoden beschweren und wenn Dich mal jemand auf einen Fehler Deinerseits hinweist, statt Dir nach dem Mund zu reden, machst Du es genauso und nennst Du ihn einen Troll. Gut, man muss ja keinen Nutzen darin sehen auf einen Widerspruch hingewiesen zu werden. Dann macht halt ohne mich weiter.


Hadmut
20.5.2013 22:22
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@Michl:

> Dann macht halt ohne mich weiter.

Genau das wollte ich Dir auch gerade vorschlagen. Wie schön, dass wir uns da einig sind.

Such dir ein anderes Blog um Leute zu nerven oder schreibe selbst eines.


Herbert
20.5.2013 22:34
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@Michl: Ich wäre interessiert, ob du den entsprechenden Blogeintrag finden könntest, ich weiß nämlich nicht, wovon du redest, würde mir aber gerne selbst ein Bild machen.


rb
20.5.2013 22:41
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@Jens: Oops, ja, hast recht. Leere Menge 0 hat kein Element, deren Potenzmenge P0 ein Element (die leere Menge), deren Potenzmenge PP0 hat die beiden Elemente, die ich nach P0 verfrachtet habe.


Alexander
20.5.2013 22:52
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@Wolfgang Keller
Die Russelsche Antinomie ist älter als ZFC. In ZFC gibt es keine Russelsche Antinomie. Die Russelsche Antinomie zeigt die Widersprüchlichkeit der naiven Mengenlehre und damit die Notwendigkeit der Entwicklung einer entsprechenden Axiomatik. Meine Frage nach einer Menge, die sich selbst enthält bezog sich natürlich ebenfalls auf die naive Mengenlehre vor ZF.
Das Problem in Hadmuts Argumentation liegt in der Betrachtung des Komplements der Russelschen Antinomie.
Da die Russelsche Antinomie nicht wohldefiniert ist, kann man nicht, wie in Nachtrag 1 geschehen, ihr Komplement betrachten. Dieses Komplement ist ebenfalls nicht wohldefiniert.
Die Russelsche Antinomie ist nicht blödsinnig, da sie einen Fehler der naiven Mengenlehre aufzeigt:
Eine Menge, die sich nicht selbst enthält existiert, z.B. die “Leere Menge”.
Also kann man alle Singleton-Mengen betrachten, die jeweils eine solche Menge enthalten.
Jetzt kann man die Vereinigung über alle möglichen solchen Singleton-Mengen bilden und erhält die Russelsche Antinomie.

Also ist die naive Mengenlehre bzgl. der Mengenvereinigung nicht abgeschlossen.

Um analog das “Komplement” der Russelschen Antinomie zu erzeugen, muß man ausgehend von der naiven Mengenlehre die Existenz einer Menge, die sich selbst enthält beweisen. Ein solcher Existenzbeweis ist mir unbekannt. Deshalb hatte ich Hadmut danach gefragt.


Hadmut
20.5.2013 22:55
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@Alexander:

Oh, Leute!

> Dieses Komplement ist ebenfalls nicht wohldefiniert.

Genau das wollte ich ja zeigen, dass es nicht wohldefiniert ist. Weil das beim angenommenen Komplement leichter zu zeigen ist als bei der ursprünglichen Menge/Klasse.

*Seufz*


Alexander
20.5.2013 23:00
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Interessant finde ich im Zusammenhang mit der Arbeit von Johanna Hartmann folgenden Eintrag im Lebenslauf von Corinna Bath:
“1993: Diplom in Mathematik (Mathematische Logik) an der Freien Universität Berlin”


Alex
20.5.2013 23:10
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Aber ich find es toll, dass ein so eher trockeneres Thema doch soviel Begeisterung hervorruft 🙂


Alexander
20.5.2013 23:32
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@Hadmut
“Dass diese Antinomie blödsinnig ist, kann man sich leicht klarmachen, indem man ihr Komplement betrachtet, nämlich die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten. Enthält diese Menge sich selbst oder tut sie das nicht?”

Deine Komplementbildung ist ein Trugschluß. Da die Russelsche Antinomie keine Menge ist, kannst du auch nicht die Mengenoperation “Komplementbildung” darauf anwenden und als Resultat eine Menge erhalten. Dein “Komplement” ist keine Menge. Die Frage ob es sich selbst enthält oder nicht ist sinnlos, weil das “Komplement” überhaupt nicht existiert.
Die Russelsche Antinomie existiert jedoch in der naiven Mengenlehre, da sie dort explizit konstruiert werden kann.
Schau dir mal Kapitel 1 “Antinomien des naiven
Mengenbegri?s und Auswege” an in http://page.mi.fu-berlin.de/raut/Mengenlehre/m.pdf


Geisterkarle
21.5.2013 9:18
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Das wird mir hier langsam zu hoch mit der Mathematik 🙂

Mal so meine ganz blöde Einschätzung dazu:
Die Barbierproblemstellung ist doch irgendwie, dass der Barbier nicht weiss in welche der beiden Mengen A und B er (oder von mir aus: “sie” – ist das dann eine Barbierin?) sich jetzt befindet.
Das folgt bei mir zu zwei möglichen Annahmen:

1. Die “suggestion”, dass A und B eigenständige Mengen sind, ist falsch und es gibt eine Überlappungsmenge AB -> Der Barbier gehört zur Menge AB

2. Die “suggestion”, dass die Personen im Dorf komplett in Menge A und Menge B aufgeteilt werden können ist falsch und es gibt, um alle Dorfbewohner zu beschreiben noch Menge C, Menge D, … -> Der Barbier ist in Menge C zu finden (ob diese Menge nun “Frauen, die sich nich rasieren” ist mal völlig dahingestellt), braucht sich also gar nicht über A und B zu definieren.

Beides ist für mich eine “mathematisch” logische Folge. Sehe hier kein Problem. Weder in der Mathematik, noch in irgendeiner Männlichkeit!


O.
21.5.2013 12:45
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@Alexander:
Na, noch ein Text mit vielen Axiomen.
Werde mir den zwar mal saugen, für den Fall, daß ich mich da doch mal durchkämpfe.
Aber eigentlich bin ich kein Freund von Axiomen.
Von Herleiten halte ich mehr.

Gott und Gender sind auch Axiome…..


Herbert
21.5.2013 13:26
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@Alexander: genau das hat Hadmut doch dargestellt…
der Fehler liegt, wie er zeigt, eben darin, dass man fälschlicherweise(!) annimmt, die Aussage des Barbiers würde tatsächlich eine Menge definieren. Und WÄRE das so, dann KÖNNTE man die Komplementärmenge bilden, und dann KÖNNTE man die ansehen und dann SÄHE man, dass bereits beide möglichen Fälle (Barbier in “Menge” oder Barbier in “Komplementärmenge”) bei der Komplementärmenge logisch keinen Widerspruch erzeugen.


Herbert
21.5.2013 13:36
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BLA, unten bisschen doof weil nebenher youtube video.
Selbstverständlich muss es heißen:
[…] dass bereits beide möglichen Fälle (“Komplementärmenge ist Element ihrer selbst” bzw “Komplementärmenge ist nicht Element ihrer selbst”) logisch keinen Widerspruch erzeugen.


Gast
21.5.2013 13:50
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da oben Fragen auftauchten, wo Feminismus versucht, in der Wissenschaft Fuß zu fassen: Ich hatte vor Jahren mal ein Buch in der Hand – “Elfenbisse. Feministische Naturwissenschaft NUT – Frauen in Naturwissenschaft und Technik” das eine derartige Zusammenstellung enthielt. Ich habe nicht alles gelesen – der Aufsatz über Meteorologie war strange und irgendwie fehlte mir der Nerv, mich da weiter zu vertiefen. Wen es aber interessieren sollte …


Gast
21.5.2013 13:53
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Ach ja, und dann hatte Richard Dawkins doch die amerikanischen Feministinnen, die sich zu Äußerungen über Naturwissenschaftliches hinreißen ließen, schon mal vorgeführt: https://www.youtube.com/watch?v=b1pJ8vYxL3Q :)))))


anon
21.5.2013 15:03
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@Alexander

Etwas formal hingeschrieben was Herbert und Hadmut meinen:

Nicht Existenz einer Menge A
Nicht Existenz der Komplementärmenge von A


anon
21.5.2013 15:06
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Zwischen den beiden Aussage fehlt ein Implikationszeichen in beide Richtungen (Die Kommentarfunktion akzeptiert es anscheinend nicht).


Stefan
21.5.2013 15:46
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Nicht jeden Mist glauben das in Wikipedia steht. Der Barbiers Paradoxon ist nicht auf Russells Mist gewachsen. Siehe (http://books.google.de/books?id=Fpb-9eRqjsYC&lpg=PP1&dq=The%20Philosophy%20of%20Logical%20Atomism&hl=de&pg=PA228#v=onepage&q=barber&f=false) Seite 287 letzter Absatz ff.

Auch toll wie er das ganze Konstrukt bezeichnet: “the whole form of words is just noise without meaning.” Sowie Gendertheorie 😀


Alexander
21.5.2013 15:57
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@Herbert
http://de.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_quodlibet

Nochmal zum Nachtrag 1:
“Dass diese Antinomie blödsinnig ist, kann man sich leicht klarmachen, indem man ihr Komplement betrachtet, nämlich die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten. Enthält diese Menge sich selbst oder tut sie das nicht? Beides ist zutreffend: Wenn sie sich enthält, enthält sie sich. Und wenn sie sich nicht enthält, enthält sie sich nicht.”

Die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten, kann auch die leere Menge sein. Nämlich dann, wenn keine Menge existiert, die sich selbst enthält. Inwiefern man sich daraus klarmachen kann, daß die Russelsche Antinomie blödsinnig ist, erschließt sich mir nicht.

@O
Woraus willst Du etwas herleiten, wenn Du keine Axiome hast?
Um konstruktiv Mathematik zu betreiben, brauchst Du zumindest die Peano-Axiome oder etwas ähnliches. Als Rationalist ohne Axiome landest Du sonst beim Münchhausen-Trilemma http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma


Thomas M.
21.5.2013 16:14
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Bei Twitter brauen sich gerade neue Hashtags zusammen, z.B. #IchBraucheFeminsmus – die Beitrge sind bislang eher witzig statt feministisch *LOL*


NurZurInfo
21.5.2013 16:46
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In unserer Logik-VL hat der Prof das Barbierproblem lediglich zur Einleitung gebracht, als Beispiel dafür, warum die menschliche Sprache nicht für die exakte Erfassung von mathematischen Aussagen geeignet ist. Den Rest des Semesters haben wir dann ein formales System hergeleitet.

Das Barbierproblem als Unzulänglichkeit der Mathematik auszulegen, ist quasi das Dümmstmögliche, was man – exakter: die Frau – machen kann.


petpanther
21.5.2013 17:01
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Brutal. Wusste nicht wie weit das mittlerweile tatsächlich geht. Hab’ das Paper einmal angelesen.

Das erinnert stark an die Zusammenhänge mit “Rassenlehre”, wo man auch unbedingt Rückschlüsse von Rassen auf menschlicher Intelligenz, Überlegenheit etc. herauszufinden suchte … alles wird nun auf Geschlecht “abgeklopft”. Mit seriöser naturwissenschaftlicher Forschung hat das offenbar nicht mehr viel zu tun.

Das ist mehr als beängstigender Unsinn. Und es scheint tatsächlich mittlerweile eine Art “Gendersumpf” zu geben, der dem Steuerzahler auch noch teuer zu stehen kommt.

Ich kann mich erinnern, dass gerade wir in Deutschland doch Lehren ziehen wollten.


Oh Mann! Hab ich doch Hans Albers gelesen und wollte schon wieder nach Satirifizierung schreien. Ich Schwein, ich armes!


Michael Vogt
21.5.2013 18:27
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“Ich kann mich erinnern, dass gerade wir in Deutschland doch Lehren ziehen wollten.”

Ja haben sie doch, Faschismus funktioniert auch heute noch…


quarc
21.5.2013 20:25
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Hadmut, Du hast Dich da etwas vergaloppiert:

Das Russelsche Barbierbeispiel ist im ersten Absatz der Arbeit korrekt dargestellt:

| Ein Barbier gibt bekannt, alle Menschen aus dem Dorf zu rasieren,
| die sich selbst nicht rasieren, und niemanden zu rasieren, der
| sich selbst rasiert.

Der sich ergebende Widerspruch liegt *nicht* daran, dass etwa der “erste Teil” dem “zweiten Teil” widersprechen würde (was die Autorin eben auch nicht behauptet), sondern daran, dass gemäß der Ankündigung der Barbier *genau diejenigen* Einwohner des Dorfes rasiert, welche sich nicht selbst rasieren.

Letztlich geht es nur darum, dass die naive Mengenlehre mit ihrer unbeschränkten Zusammenfassung nicht widerspruchsfrei ist, weil so eine Zusammenfassung

{ x | E(x) }

bereits mit einer vergleichsweise harmlosen Eigenschaft wie E(x) = not(x in x) schiefgeht. Die axiomatische Mengenlehre hat diesen Defekt übrigens längst repariert, aber es ist nicht ungewöhnlich, dass sich Nichtmathematiker noch gerne daran abarbeiten, meist ohne Kenntnis moderner Mathematik.

Ich kann auch nicht sehen, wo die Autorin daraus irgendwo den Schluss zieht, die ganze Mathematik sei widersprüchlich oder fehlerhaft. Im Gegenteil scheint sie durchaus Deine Auffassung zu teilen, dass die Aufdeckung eines solchen Widerspruchs einen Erkenntnisfortschritt darstellt, der in der Folge ja auch die axiomatische Fassung des zuvor “naiven” Mengenbegriffs befördert hat.

Es stört allenfalls die Platzverschwendung. Am Ende der ersten Seite schreibt sie:

| Die Frage, der ich in dieser Arbeit nachgehen möchte, ist die,
| ob die “Krise” der Mathematik als Krise von Männlichkeit gelesen
| werden kann.

An dieser Stelle hätte mir ein “Offensichtlich nicht.” vollauf genügt und man hätte sich die weiteren 16 Seiten sparen können. Denn sie unternimmt gar keinen richtigen Versuch, der Frage wirklich nachzugehen. Stattdessen zitiert sie brav ein paar Kommentare aus der Sekundärliteratur über die Reaktionen auf die vermeintliche Grundlagenkrise, wobei sie m.E. auch noch an ein paar Stellen fehlinterpretiert. Daneben erzählt sie auch von der noch in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts bestehenden Benachteiligung von Frauen im akademischen Wissenschaftsbetrieb. Das ist ja auch ganz nett und die vermeintlich wissenschaftlichen Begründungen zur Fernhaltung von Frauen stehen dem Genderismus an Blödsinn nicht nach. Aber das wird mit der mathematikhistorischen Frage gar nicht verbunden.

Die Schlusspassage

| Für die Lösung muss der Schritt aus der gegenseitigen Legitimierung
| und Stabilisierung der Konstrukte von Mathematik und Männlichkeit
| gemacht werden. Der Barbier ist eine Frau. Easy.

ist nur noch hirnloses Geblödel. Ich vermute, dass der vorgeschriebene Umfang der Hausarbeit erreicht war und die arme Johanna einfach keine Lust mehr hatte. Womöglich sollten auch einfach nur die Thesen der von Schnurbein (siehe Literaturverzeichnis) in neuem Kontext wieder aufgewärmt werden.

Eine ernsthafte Publikation ist das nicht. Es sieht so aus, dass die Gender Studies an der HU nichts besseres vorzeigen können. Ich kann Dein Entsetzen verstehen.

P.S.: Dein Nachtrag erweckt bei mir den Verdacht, dass Du die Russelsche Antinomie selbst nicht ganz begriffen hast. Der wesentliche Punkt ist, dass die naive Mengenlehre mit ihrer “Zusammenfassung von Objekten zu Mengen anhand von Eigenschaften der Objekte”, also Konstruktionen wie

{ x | x hat Eigenschaft E }

keine Einschränkung vorsieht — weder bei den Objekten noch bei den Eigenschaften. Insbesondere ist eine so gebildete Menge wieder ein zulässiges Objekt, welches nun die Eigenschaft E erfüllen kann, und an solchen Gebilden wie

V = { x | } oder N = { x | not(x in x) }

wäre nichts auszusetzen. Die Frage ob man für eine derart angegebene “Menge” z.B. { x | x in x } feststellen kann, ob sie Element ihrer selbst ist, ist hier vollkommen irrelevant; die naive Mengenlehre identifiziert eine Eigenschaft mit der Menge aller Objekte die sie erfüllt. Dementsprechend ist dann auch “x in N” eine zulässige Eigenschaft, die N erfüllt oder nicht, und der Widerspruch ergibt sich durch

N in N not(N in N)

Wichtig ist, dass die verwendete Eigenschaft keineswegs besonders kompliziert war (es wird ja nur die Elementrelation verwendet). Insgesamt also kein sprachlicher Unfug, sondern der Nachweis, dass die ursprüngliche naive Mengenlehre noch genauer zu fassen ist.

Letztlich ist es ein bekanntes Diagonalargument: nimm eine Signatur mit genau einem zweistelligen Prädikatssymbol R und betrachte die entsprechenden PL1-Formeln. Nun kommt jemand an und behauptet, es sei eine Interpretation D möglich, in der folgendes gilt:

|(*)
| Zu jeder PL1 Formel P(x) mit genau einer freien Variable gibt es ein
| p in D gibt, so dass forall x ( P(x) R(x,p) ) in D gilt.

Dann wählst Du B(x) := not( R(x,x) ). Ein b in D mit
forall x ( B(x) R(x,b) ) liefert dann den Widerspruch
not( R(b,b) ) R(b,b).
Damit hast Du seine Behauptung widerlegt.

Es ist nun eine Geschmacksfrage, ob man R(x,y) als “x ist Element von y” oder als “x wird von y rasiert” interpretieren will.

Die Erkenntnis besteht halt darin, nicht auf (*) zu bestehen. Das wurde im Rahmen der axiomatischen Mengenlehre auch schon längst repariert.

P.P.S.: ich finde es sowieso doof wenn Frauen sich rasieren.
Rettet die Bärchen!


Hadmut
21.5.2013 20:43
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@quarc: Nein. Fehler müssen nicht kompliziert sein, manchmal sind sie einfach.

M := { x | x hat Eigenschaft E }

ist schön, wenn man erst alle x auf die Eigenschaft E betrachten kann und daraus dann das M macht, weil erst x und E da sein müssen, und daraus dann M definiert wird.

Wenn aber M selbst zu den x gehört und die Definition es veränderlich bzw. volatil macht, ob M die Eigenschaft E hat, dann ist die richtige Reihenfolge nicht mehr gegeben, dass erst die x und deren E feststehen müssen und daraus M definiert wird. Da stimmt einfach die strikte Vorwärtsreihenfolge nicht. Ganz einfach. Das ist dann nicht definitionstauglich, weil dann ob M die Eigenschaft E hat von der Definition von M abhängt, die logisch gesehen erst später erfolgt.

{ x | x hat Eigenschaft E }

muss auch ohne die Zuweisung eindeutig sein.


quarc
21.5.2013 20:33
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Ich hasse diese Scheißblogsoftware, die versucht, intelligenter zu
sein als ich. Hier noch mal die verhunzten Absätze:

Dementsprechend ist dann auch “x in N” eine zulässige Eigenschaft, die N erfüllt oder nicht, und der Widerspruch ergibt sich durch
N in N <=> not(N in N)

Wichtig ist, dass die verwendete Eigenschaft keineswegs besonders kompliziert war (es wird ja nur die Elementrelation verwendet). Insgesamt also kein sprachlicher Unfug, sondern der Nachweis, dass die ursprüngliche naive Mengenlehre noch genauer zu fassen ist.

Letztlich ist es ein bekanntes Diagonalargument: nimm eine Signatur mit genau einem zweistelligen Prädikatssymbol R und betrachte die entsprechenden PL1-Formeln. Nun kommt jemand an und behauptet, es sei eine Interpretation D möglich, in der folgendes gilt:

|(*)
| Zu jeder PL1 Formel P(x) mit genau einer freien Variable gibt es ein
| p in D gibt, so dass forall x ( P(x) <=> R(x,p) ) in D gilt.

Dann wählst Du B(x) := not( R(x,x) ). Ein b in D mit
forall x ( B(x) <=> R(x,b) ) liefert dann den Widerspruch
not( R(b,b) ) <=> R(b,b).
Damit hast Du seine Behauptung widerlegt.

Es ist nun eine Geschmacksfrage, ob man R(x,y) als “x ist Element von y” oder als “x wird von y rasiert” interpretieren will.


O.
21.5.2013 22:49
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Henne -> Ei
Ei -> Henne

Stimmt zwar beides, also true, lässt sich aber nicht klass. logisch zusammen fassen zu einer Gesamtaussage.
Fuzzy und anderes Zeugs hilft da auch nicht.

Nur ein weiteres Beispiel.

Henne ist weiblich. Ei…. hmhhh

Aber sicher ist der Hahn wieder der, der für das Dilemma verantwortlich gemacht wird.
Naja, die Hennen intersssiert das Problem ja auch nicht….


Thomas
21.5.2013 23:42
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Guten Abend,

Da will ich mich auch nochmal versuchen, immerhin geht es gegen Russel: Er sagt eigentlich ganz offen, dass Aussagen der Art der Barbier-Aufgabe oder auch ‘Ich lüge.’ unsinnig sind. Er findet auch, dass eine Aussage über eine Klasse auch in eine Form umgesetzt werden können sollte, welche die Klasse selbst nicht benötigt. Statt der Umschreibungen finde ich die Analyse anhand des Satzes ‘Alle atomaren Annahmen sind entweder wahr oder falsch.’ besser. Dieser Satz ist selbst eine Annahme. Aus diesem Problem gibt es nur wenige Auswege. Russels Ansatz, nach Freges Abstraktionsprinzip, war salopp die Einschränkung, dass jedes Element in einer Klasse keine Aussage über die Klasse trifft. Statt also alle atomaren Annahmen in einer Klasse zu definieren schlägt er vor mit einer atomaren Annahme zu beginnen, welche keine Aussage über eine Anzahl von atomaren Annahmen trifft, und dann eine Annmahme über mehrere Annahmen dieses konkreten Typs zu treffen. Dadurch ist immer sichergestellt, dass die Gesamtheit der Vorraussetzungen zur Verfügung steht. Damit ist das Ganze beweisbar wiederspruchsfrei. An dieser Stelle der kurze Hinweis, dass die Zusammenfassung aller Mengen die sich nicht selbst enthalten keine Menge sein kann und daher oft als Klasse bezeichnet wird. Auch erweiterte Russel später dieses Typ-Konzept, um auch semantischen Paradoxien zu vermeiden, machte es dadurch aber auch zu komplex für den praktischen Einsatz. Axiomensysteme wie ZF(C) vermeiden das Paradox auch, sind allerdings was die Widerspruchsfreiheit angeht unbeweisbar. Deswegen finde ich Hilberts Ansatz von strengen Axiomen sehr angenehm, was wiederrum nahe an Russel ist finde ich. Also eine endliche Anzahl von Beweisen einer vereinbarten Menge von Axiomen oder gerne auch Klassen. Das hat die Attraktivität, dass man die Wiederspruchsfreiheit komplexer Systeme durch einfachere Systeme nachzuweisen kann. Für die gesamte Mathematik ergibt sich jedoch nach wie vor das Problem, dass man auch hier die Wiederspruchsfreiheit nicht vollständig besweisen kann. Was zu Gödels ‘Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.’ führt.

Zusammen mit (oder neben) Turings Halteproblem ergibt sich damit:

tl;dr

‘Ein System kann nicht zum Beweis seiner eigenen Widerspruchsfreiheit verwendet werden.’ (Gödel)

Was wiederrum heißt, dass eine vermeintliche Wahrheit sich manchmal weder empirisch noch durch Anschauung, sondern gar nicht finden lässt, selbst wenn man die Betrachtung immer von einer höheren Betrachtung aus angeht. Was Russel gut erkannt hat, wenn er von der Philosophie der logischen Mathematik spricht.

Sollte ich was vergessen oder falsch aus meiner Oberstube gekramt haben, fühlen Sie sich frei mich zu korrigieren.

Achso, ich muss ja noch was zum Nebenthema sagen: Stimmt schon, Mathematik ist alles andere als perfekt. Aber deswegen redet man ja miteinander im wissenschaftlichen Diskurs, auch gerne mal rauher. Aber man redet nicht übereinander und konstruiert schon gar nicht aus dem tragischen Problem der inneren Logik der Selbstbezüglichkeit (in etwa ‘Solange der Mensch selber zum System gehört, kann er seine Bewusstseinsgrenzen nicht überwinden.’) eine Krise eines männlichen Erkenntnissubjekts (kann mir das jemand gerafft nochmal definieren?). Zumal gar nicht nach der Lösung gefragt war.

Mit freundlichem Gruß
Thomas


Hadmut
21.5.2013 23:57
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@Thomas:

Ich könnt mich jetzt auch nicht erinnern, dass die Mathematik jemals einen absoluten oder alleinigen Wahrheitsanspruch erhoben hätte (wie es beispielsweise der Genderismus tut).

In der Mathematik steht es jedem frei zu behaupten, dass er irgendetwas für falsch hält und zu belegen und erklären, warum.

Und es steht auch jedem, der die Axiome anzweifelt, frei, eine eigene Mathematik, eine alternative Algebra mit anderen Axiomen zu konstruieren. Das würde sicherlich nicht mal abgelehnt, sondern mit Interesse aufgenommen.

Zwei Punkte sprechen aber dafür, dass die Mathematik durchaus »wahr« ist und der Realität entspricht. Nämlich erstens, dass meines Wissens bisher keiner Axiome benennen konnte, die zu einer »besseren« oder wenigstens gleich guten Mathematik geführt hätten. Und zweitens, dass die Mathematik eben ziemlich gut funktioniert und uns eben erlaubt, Brücken, Flugzeuge und Langzahlarithmetiken zu bauen, sie also durchaus eine gute Übereinstimmung mit der Natur hat.


rb
22.5.2013 1:05
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@Hadmut:
Was Du hier ansprichst, läuft unter dem Titel “Prädikativität”; siehe etwa
http://math.stanford.edu/~feferman/papers/predicativity.pdf

@petpanther
Als zu Beginn des “dritten Reiches” auch schon einmal das Bedürfnis nach einer ideologischen Ausrichtung der Mathematik auftrat, machte man das anhand der Vorstellungen
– arisch, faustisch, schöpferisch, konstruktiv, intuitionistisch…
vs.
– formalistisch, “Buchstabenwissenschaft”, jüdisch…
Näheres dazu kann man nachlesen in der charakteristisch kurzlebigen Zeitschrift “Deutsche Mathematik”, in der sich auch Berichte darüber finden, wie Herr Professor Bieberbach mit (Mathematik-)Studenten ins nationalsozialistisch eingefärbte Zeltlager zieht; vielleicht lassen sich da auch Anregungen fürs genderistische Veranstaltungsleben finden.

Denn diese ideologische Verpolung erinnert schon sehr an die von der Autorin des vorliegenden Pamphlets zwar nicht übernommenen, aber referierten Ansicht:

“Einen Versuch, Geschlecht in der Mathematik zu verorten, machen die Mathematikerinnen Christiane Frougny und Jeanne Pfeiffer. Doch geraten sie dabei in eine stereotypisierende Darstellung eines unterschiedlichen mathematischen Interesses der Geschlechter, das sich in etwa mit einer Gegenüberstellung von formalistischen (männlichen) und intuitionistischen (weiblichen) Zielen deckt. Sie sprechen Männern und Frauen eine originär verschiedene Herangehensweise an die Mathematik zu, wobei sie in der Formalisierung der Mathematik eine Reduktion erkennen, der dringend mit einer weiblichen „kreativen“, „erfinderischen“ Lust am mathematischen Tun begegnet werden müsste”

Das ist schon deshalb ziemlicher Unsinn, weil für Hilbert der von ihm initiierte Formalismus eine Methode war, um die Mathematik selbst mit mathematischen Mitteln betrachten und auf die von ihm gewünschte sichere Grundlage stellen zu können, aber mitnichten dazu dienen sollte, Kreativität in der Mathematik entbehrlich zu machen; so gibt es unter den gängigen Hilbert-Anekdoten jene, wo Hilbert auf die Frage nach dem Verbleib eines Studenten antwortete, der habe auf Wirtschaftslehre umgesattelt, denn für Mathematik habe seine Phantasie nicht gereicht, und das Buch über “Anschauliche Geometrie”, das in typischer Hilbert-Manier (vom Meister das Vorwort, vom Coautor, in diesem Fall Cohn-Vossen, der Rest, allerdings basierend auf Hilbertschen Vorlesungen) ist mit einer rein formalistischen Vorstellung von Mathematik auch reichlich unvereinbar. In jenem Vorwort schreibt Hilbert (datiert 1932): “In der Mathematik wie in aller wissenschaftlichen Forschung treffen wir zweierlei Tendenzen an: die Tendenz zur Abstraktion -sie sucht die logischen Gesichtspunkte aus dem vielfältigen Material herauszuarbeiten und dieses in systematischen Zusammenhang zu bringen- und die andere Tendenz, die der Anschaulichkeit, die vielmehr auf ein lebendiges Erfassen der Gegenstände und ihre inhaltlichen Beziehungen ausgeht.”

Es ist aber nicht diese faktische Unsinnigkeit, was die Autorin des vorliegenden Elaborats an dieser These von Frougny und Pfeiffer auszusetzen hat, sondern die vermeintliche Unvereinbarkeit mit dem selbst ausgedachten Unsinn:

“Mit einer solchen Verknüpfung von männlicher Objektivität und Formalisierung bei Frougny und Pfeiffer könnte kaum von einer Krise des männlichen Erkenntnissubjekts gesprochen werden, da – wenn auch nicht widerspruchsfrei, so doch in einer pragmatischen Weiterführung – der Formalismus in der Auseinandersetzung um die Begründung der modernen Mathematik die Oberhand behalten hat.”

Differenzen gibt es offenbar nur hinsichtlich des Weges, aber nicht in dem wahnhaften Ziel, allüberall “Geschlecht zu verorten”.


Wolfgang Keller
22.5.2013 4:26
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@Hadmut

“Zwei Punkte sprechen aber dafür, dass die Mathematik durchaus »wahr« ist und der Realität entspricht. Nämlich erstens, dass meines Wissens bisher keiner Axiome benennen konnte, die zu einer »besseren« oder wenigstens gleich guten Mathematik geführt hätten.”

Das stimmt so nicht. Hierzu drei Beispiele:

Beispiel 1: die Kontinuumshypothese

Diese sagt vereinfacht, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit größer ist, als die der natürlichen Zahlen, aber kleiner als die der reellen Zahlen.

Kurt Gödel konnte zeigen, dass man aus ZFC nicht folgern kann, dass die Kontinuumshypothese (CH) falsch ist (relative Widerspruchsfreiheit zu ZFC). Allerdings konnte Paul Cohen auch zeigen, dass man die Gültigkeit von CH nicht aus ZFC folgern kann.

Welche Mathematik bevorzugst du: ZFC+CH oder ZFC+!CH ?

Beispiel 2: das Auswahlaxiom

Aufgrund der Bedeutung des Zorn’schen Lemmas (welches äquivalent zum Auswahlaxiom ist) ist es in der Mainstream-Mathematik verbreitet, ZFC (ZF + Auswahlaxiom) statt ZF zu verwenden. Ist dies jedoch wirklich die beste Idee.

Eine Alternative zum Auswahlaxiom, welche mathematisch hochinteressant ist, ist das Axiom of Determinacy (AD):

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy

Dieses ist zum Auswahlaxiom inkonsistent, allerdings ist ZF + AD eine sehr mathematisch ebenfalls sehr interessante Theorie.

Ein weiteres Argument gegen das Auswahlaxiom ist das Banach-Tarski-Paradoxon. Dieses sagt vereinfacht folgendes aus (wenn das ganze ausgesprochen krank wirkt: ja, das stimmt wirklich so): man kann zeigen, dass man eine Kugel in endlich viele Teile zerlegen kann. Wenn wir diese Teile im Raum drehen und verschieben, so erhalten wir lückenlos zwei Kugeln. Kugeln-Vermehren für Dummies.

Dies führte zu massiven Problemen, denn, wenn das so ist: wie wollen wir dann so etwas wie ein Volumen sinnvoll definieren. Die Mainstream-Lösung ist folgende: wir definieren das Volumen dieser seltsam zerlegten Teile einfach als nicht-messbar und verbieten zur Volumenbestimmung solche “seltsamen” Zerlegungen.

Hört sich irgendwie nach “wir definieren uns das Problem weg” statt “wir lösen das Problem” an – sehr unschön.

In der Tat kann man zeigen, dass solche seltsamen Zerlegungen nur deswegen möglich sind, weil wir das Auswahlaxiom zur Verfügung haben. Wenn dieses nicht vorhanden wäre, so könnten wir keine solchen kontraintuitiven Zerlegungen durchführen – das Problem wäre viel eleganter gelöst.

Beispiel 3: Peano-Axiome

Lange Zeit hatte man die Arithmetik auf Basis der Peano-Axiome statt auf Basis von ZFC formuliert. Allerdings gibt es Sätze, für die man zeigen kann, dass es mittels der Peano-Axiome keinen Beweis für sie gibt, allerdings in ZFC beweisbar sind. Ein Beispiel hierfür ist der Satz von Goodstein:

> http://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge

Bespiel 4: Nichtstandard-Analysis

Jeder MINT-Student kennt die “wunderschöne” Definition der Ableitung (Limes des Differenzenquotienten). Doch was wäre, wenn wir einfach durch eine “unendlich kleine” Zahl stur dividieren dürften, um die Ableitung zu bilden, statt Grenzwerte bilden zu müssen?

In der Tat gibt es hierzu Forschungen: der Trick besteht darin, die reellen Zahlen zu sogenannten hyperreellen Zahlen zu erweitern (diese enthalten auch “unendlich große” und “unendlich kleine” Zahlen) – Problem gelöst.

> http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis

Einiges ist in dieser Nichtstandard-Analysis leichter beweisbar als in klassischer Analysis (auch wenn dieser alternative Zugang zu Analysis nicht ganz unkritisch gesehen wird:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Criticism_of_non-standard_analysis
).

Zusammenfassend kann man also sicher sagen, dass alternative Axiomatisierungen, die ihre Vorteile haben, wohlbekannt sind – nur halt sind diese nicht immer so mainstreamig.


Hadmut
22.5.2013 7:41
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@Wolfgang Keller: Und, zu welcher “besseren” Mathematik haben sie geführt? Ich sehe nicht, das Deine Beispiele dazu führen würden, dass man irgendwo anders rechnen würde, dass man damit wesentliche Änderungen in Analysis, Algebra oder deren Anwendungen in Physik oder Simulationen herbeiführen würde.

Davon abgesehen hast Du den Kontext meiner Aussage übersehen, denn alle Deine Beispiele gehören ja wieder zu eben der von Feministinnen abgelehnten “vermännlichten” Mathematik und ihrer theoretisierten Sichtweise führen. Alles, was Du da aufzählst liegt innerhalb des feministischen Vorwurfs.

Es ging darum, dass noch niemand eine Mathematik oder einen Axiomensatz entworfen oder vorgeschlagen hat, der die Mathematik in dieser feministischen Sichtweise besser oder “genderkonformer” macht. Es ist einfach nicht ersichtlich, worauf die feministischen Vorwürfe – außer dem idiotischen Ziel, einfach auf verbaler aber inhaltsloser Ebene irgendwelche Scheinvorwürfe zu erheben – hinauslaufen sollte.

Feministinnen erheben Vorwürfe gegen die von Männern entworfene Mathematik, Informatik usw., aber haben bisher nie gesagt, worauf eine feministisch korrekte Entwurfsweise hinauslaufen sollte, außer eben Mathematik und Informatik komplett bleiben zu lassen.

Du hast schlichtweg das Thema verfehlt.


Alex
22.5.2013 13:10
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Ein wichtiger Punkt in der Mathematik ist etwas zu tun.
Und mit ZFC lässt sich nunmal viel besser arbeiten als mit ZF!C 🙂

Ausserdem liegen nicht alle Paradoxa an C, etwa Nicht(Lebesgue)messbare Mengen lassen sich auch ohne C kontruieren (etwa suslin mengen).
Das wird zwar nicht so schön plastisch wie Banach-Tzarski, aber immernoch problembehaftet.


Wolfgang Keller
22.5.2013 14:41
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@Hadmut

OK, dass deine Hauptthese war, dass “besser” im Sinne von “feministischer” verstanden werden soll, habe ich übersehen. Eine solche Mathematik ist zumindest mir nicht bekannt. 😉

Die These

“Ich sehe nicht, das Deine Beispiele dazu führen würden, dass man irgendwo anders rechnen würde, dass man damit wesentliche Änderungen in Analysis, Algebra oder deren Anwendungen in Physik oder Simulationen herbeiführen würde.”

stimmt jedoch wohl nicht. Wir unterscheiden erst einmal zwei verschiedene Klassen von alternativen Axiomatisierungen:

1. alternative Axiomatisierungen, welche zu vollkommen neuen/unerwarteten Resultaten führten, die in der ursprünglichen Axiomatisierung nicht beweisbar sind

2. alternative Axiomatisierungen, welche gleichermaßen ausdrucksmächtig sind (also alles, was in der einen wahr ist, ist auch in der anderen wahr), aber gewisse Dinge sind in der einen schwer zu beweisen, während sie in der anderen sich quasi natürlich ergeben.

Zu 1.:

Ich finde es schon ein sehr starkes Stück, dass man zeigen kann, dass in der Peano-Arithmetik der Satz von Goodstein nicht beweisbar ist (das ist letzten Endes ein Satz darüber, dass ein bestimmtes Computerprogramm terminiert) und wir daher eine “stärkere” Axiomatik benötigen (z. B. Arithmetik auf Basis von ZFC formulieren). Wenn es Anwendungen gäbe, in denen ZFC versagt (gibt es, siehe Kontinuumshypothese) und mit denen man sich außerhalb der “reinen” Mathematik nicht irgendwie arrangieren kann (beispielsweise kann man die ganze Maßtheorie als Beispiel dafür betrachten, wie man sich für die meisten praktischen Anwendungen mit dem Banach-Tarski-Paradoxon arrangieren kann, welches letzten Endes seine Ursache im Auswahlaxiom hat), so würde sicher in den Anwendungen rasch auf eine “alternative” Mathematik umgestellt werden. Bloß: die meisten bekannten Probleme von ZFC sind von der Art, dass im Allgemeinen die “Anwender” schon irgendeine Möglichkeit finden, damit klarzukommen.

Zu 2.:

Kategorientheorie als Alternative zur Mengenlehre ermöglicht es, einige Zusammenhänge leicht zu sehen, die – wenn man auf Basis von Mengenlehre arbeiten würde – schwer zu erkennen wären. Ein Beispiel hierfür stellen Koalgebren dar (diese sind von hoher Bedeutung für Korrektheitsbeweise für Komponenten von Computerprogrammen). Oder um ein anderes Beispiel zu liefern: Hopf-Algebren (als Beispiel von Algebren, deren Axiomatik dual unter kategorientheoretischer Dualisierung ist) haben in der theoretischen Physik durchaus eine Bedeutung:
> http://physics.stackexchange.com/questions/5682/what-are-the-uses-of-hopf-algebras-in-physics


Duschbrauser
22.5.2013 15:01
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Hab den Text auch mal angelesen. Kommt mir an manchen Stellen so vor also ob da teilweise Zitat aus drei verschiednen Quellen in einem Satz verbaut werden und die Zwischenräume mit Wörtern wie “ubiquitär” (=allgegenwärtig) gefüllt werden. Wahrscheinlich ist für den wissenschaftlichen Anspruch dieser Genderarbeiten nur ein gesteigerte Gebrauch von Fremdwörter und schwer zu lesenden Sätzen erforderlich. Desweiteren kommt es mir so vor als ob sich der Text fortlaufend in recherchierte Passagen gliedert, die zwingend mit Sätzen enden wie: “und hier wird die Krise des männlichen Erkenntnissubjektes nur zu deutlich.” Aber der Satz passt ja auch überall.

Hat eigentlich jmd. schon mal diese Dr. Ehrenhalber angerufen oder eine Email geschickt und ein paar kritische Fragen gestellt. Die Aussagen in vielen der Genderarbeiten lassen sich doch einfach widerlegen oder zumindestens der wissenschaftliche Anspruch kann stark bezweifelt werden. Oder bringt das nix, weil das Ideologen sind, die abweichende Meinungen nicht begreifen können und gegen Kritik nicht mit Argumentation und Fakten sondern am Besten mit Verboten vorgehen?


Herbert
22.5.2013 15:15
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@Alexander: Danke, dass du für das, was ich ausschrieb, einen lateinischen Begriff lieferst.
Denn im Prinzip sagte ich ja, dass eben aus der angeblichen existenten Allmacht (eine Annahme eben) beliebiges, explizit etwas falsches, folgt, und deshalb die Annahme falsch sei.


Herbert
22.5.2013 15:18
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Nachtrag: Oh, du meintest das andere, nicht der kleine Nebenkriegsplatz.
Hätte gestern beim Feiern wohl weniger trinken sollen – oder nicht kurz nach dem Aufstehen zuviel verstehen wollen 😉

Aber auch bei dem Mengenzeug liefert die Zugabe dieses lateinischen Begriffes nicht mehr, als dem was ich schrieb einen Namen zu geben.
Schließlich ist ja die reductio ad absurdum, die ich beschrieb, eine Anwendung des ex falso quodlibet.


Anstaltszauber
22.5.2013 18:08
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@Duschbrauser

Das von Dir beschriebene Verfahren ist in den Geisteswissenschaften leider üblich. Die (studentische) Herangehensweise ist die, daß ein Buch (gerne von der Seminarleiter(in)) als Grundlage genommen wird. Das sich so ergebende “Skelett” für die eigene Arbeit erhält “Fleisch” durch verwandte Literatur ähnlicher Ausrichtung. Fertig modelliert wird mit Füllwörtern und verquasten Formulierungen. Easy.

Man muß doch fragen, welcher Literatur-Student, welche Literatur-Studentin von alleine auf die Idee kommt, sich mit diesem Sachverhalt aus diesem Blickwinkel zu beschäftigen, um dann mir nichts, Dir nichts eine 100 Jahre lang “übersehene” “Lösung” aus dem Ärmel zu schütteln. Easy.

Zusätzlich hat dieser Genderkrams auch noch einen echten (wissenschaftlichen) Vorteil. Da diese “Wissenschaft” relativ neu ist, finden sich noch haufenweise unbehandelte Themen, so daß der in der Wissenschaft notwendige Diskurs schon mangels Gegenmeinungen ausfallen muß. In den etablierteren Geisteswissenschaften muß man sich bei vielen Themen wenigstens mit anderen Ansichten überhaupt auseinandersetzen, weil vieles schon mal (kontrovers) diskutiert wurde.


quarc
22.5.2013 21:41
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@Hadmut:

> Nein. Fehler müssen nicht kompliziert sein, manchmal sind sie
> einfach.
%gt;
%gt; M := { x | x hat Eigenschaft E } (*)
>
> ist schön, wenn man erst alle x auf die Eigenschaft E betrachten
> kann und daraus dann das M macht, weil erst x und E da sein müssen,
> und daraus dann M definiert wird.
>
> Wenn aber M selbst zu den x gehört und die Definition es
> veränderlich bzw. volatil macht, ob M die Eigenschaft E hat, dann
> ist die richtige Reihenfolge nicht mehr gegeben, dass erst die x
> und deren E feststehen müssen und daraus M definiert wird.
> Da stimmt einfach die strikte Vorwärtsreihenfolge nicht.
> Ganz einfach. Das ist dann nicht definitionstauglich, weil dann
> ob M die Eigenschaft E hat von der Definition von M abhängt, die
> logisch gesehen erst später erfolgt.

Das ist ein Missverständnis (möglicherweise ausgelöst durch meine Verwendung des ‘:=’, aber auch schon in Deinem Nachtrag erkennbar). Das obige (*) ist keine Zuweisung oder Definition wie beim Programmieren. Alle zu betrachtenden Objekte sind bereits vorhanden, die Eigenschaften dienen zur Aussonderung ebensolcher Objekte, welche diese Eigenschaft erfüllen; sie braucht auch nicht erst für Objekte ‘überprüft’ zu werden bevor man diese Objekte zusammenfasst. Dein Einwand ist übrigens deshalb nicht unsinnig, er wurde auch in der Mathematik erhoben und in gewisser Weise auch in NBG berücksichtigt, nur ist er für das Verständnis der Russelschen Antinomie irrelevant.

Betrachte nochmal die Formulierung mit der Sprache über einem 2-stelligen Relationssymbol R. Eine Interpretation dafür ist nichts anderes als ein gerichteter Graph (Schlingen erlaubt, aber keine Mehrfachkanten), d.h. eine Kante geht von v nach w genau dann wenn xRy (in dieser Interpretation) gilt. Da sind alle Knoten schon da. Die Frage, ob es Graphen gibt, für die die Relation stark genug ist um mit ihr alle (in der Sprache über R gebildeten) Eigenschaften darzustellen, wo man also zu jeder Eigenschaft B im Graphen ein Knoten b existiert kann, so dass für jeden Knoten v gilt:

v hat Eigenschaft B gdw es führt eine Kante von v nach b

Für einzelne Eigenschaften (z.B. “bei x enden genau 3 verschiedene Kanten”) kann das ja auch klappen und man kann ein wenig herumspielen um notwendige Bedingungen für einen solchen Graph zu sammeln, damit es für jede Eigenschaft klappt (z.B. offensichtlich darf er nicht endlich sein) aber es ist zunächst nicht klar, ob es so einen Graphen geben kann oder nicht. Russels Antinomie zeigt, dass es nicht geht.


Hadmut
22.5.2013 21:50
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@quarc: Nein. Es gehört zu den Grundsätzen sauben und wissenschaftlichen Arbeitens, dass an in Definitionen und Festlegungen immer nur das verwendet, was man bereits festgelegt hat. Und das ist hier eben nicht der Fall, wenn man {|x| .. } verwendet und eines dieser x erst damit definiert.

Etwas anderes ist es, wenn man eine Gleichung aufstellt wie

x = x + 3 , x in N

zu der man eine Lösung sucht. Derartige Gleichungen sind bei Mengenzuweisungen selten und wenn, dann also solche zu Kennzeichnen. Und dann muss man eben auch hinnehmen, dass die Gleichung keine Lösung hat.


Lohengrin
23.5.2013 2:39
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@Hadmut
> Es gehört zu den Grundsätzen sauben und wissenschaftlichen Arbeitens,
> dass an in Definitionen und Festlegungen immer nur das verwendet, was
> man bereits festgelegt hat.

Nachher ist man immer schlauer.
Dass diese Mengen existieren würden, hatte man damals einfach vorausgesetzt. Vermutlich war man sich dessen noch nicht einmal im Klaren. Die Antinomie zeigt, dass es einen Widerspruch gibt. Der nächste Schritt war, das falsche Axiom zu erkennen.

Es geht oft um das Erkennen einer Voraussetzung, die man gemacht hat, ohne dass man sich dessen bewusst war. Ein berühmtes Beispiel ist die Relativität der Gleichzeitigkeit.
Das Gefangenenparadoxon und Schrödingers Katze sind auch etwas von der Sorte. Heute ist man erstaunt, dass das mal für große Verwirrung gesorgt hat.
Ich bin gespannt, was als Nächstes aufgedeckt wird.


rb
23.5.2013 8:35
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@Wolfgang Keller, Beispiel 2: das Auswahlaxiom
Es besteht schon ein signifikanter Unterschied zwischen der Russellschen Antinomie und dem Banach-Tarski-Paradox. Ersteres hat eine bestehende Theorie, nämlich Freges “Grundgesetze der Arithmetik”, unerwartet in Schwierigkeiten gebracht. Letzteres stand zu keiner bestehenden Theorie im Widerspruch. “Die Mainstream-Lösung ist folgende: wir definieren das Volumen dieser seltsam zerlegten Teile einfach als nicht-messbar und verbieten zur Volumenbestimmung solche “seltsamen” Zerlegungen.” Nein, die seltsam zerlegten Teile waren in der damals schon bestehenden Lebesgueschen Maßtheorie nicht meßbar. Da mußte nichts verboten werden, und schon gar nicht in einer ad-hoc-Manier. Die Rolle, die das Auswahlaxiom beim Zustandekommen solcher paradoxer Zerlegungen spielt, trägt zum Verständnis des Auswahlaxioms durchaus bei. Man möchte in der Mathematik (auch) wissen, welche Konsequenzen sich aus dem Auswahlaxiom wie auch aus dem Auswahlaxiom widersprechenden Annahmen ergeben, ist aber relativ wenig an Debatten darüber interessiert, ob nun das Auswahlaxiom, das AD oder sonstwas das Wahre und Echte ist. Komplementär zu der hier
http://m-phi.blogspot.de/2011/10/inconsistency-of-pa-and-consensus-in.html
geschilderten Eigenart der Mathematik hat man solchen “philosophischen” Problemen die Luft abgelassen, und das ist gewissermaßen das Resultat der “Grundlagenkrise”. Und während dort eine tatsächlich bestehende Eigenart von “mathematics … as a social practice” thematisiert wird, ist das Gerede über das “männliche Erkenntnissubjekt” rein hohldrehendes Geschwätz.


quarc
24.5.2013 21:14
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> Nein. Es gehört zu den Grundsätzen sauben und wissenschaftlichen
> Arbeitens, dass an in Definitionen und Festlegungen immer nur das
> verwendet, was man bereits festgelegt hat. Und das ist hier eben
> nicht der Fall, wenn man {|x| .. } verwendet und eines dieser x erst
> damit definiert.

Ich kann nur wiederholen, dass — sowohl in der naiven Mengenlehre, als auch in den verschiedenen axiomatischen Varianten (z.B. in NGB) — alle Objekte mit denen man operiert, bereits als gegeben angenommen werden. Bei { x | x hat Eigenschaft E } wird nichts neues definiert, es ist nur dekorative Syntax für die Eigenschaft E:

Man arbeitet in einem (nicht näher spezifizierten) Modell der leeren Theorie (mit Gleichheit) über einem zweistelligen Prädikatssymbol R. Das ist alles. Von diesem Modell nimmt man (in der naiven Mengenlehre) an, dass es unter anderem folgendes erfüllt:

(1) All x All y [ [ All z (zRx <-> zRy) ] <-> (x = y) ]

(2) für jede Formel P(v) mit einer freien Variablen v existiert ein p mit
All x [ P(x) <-> xRp ]

Die intendierte Interpretation für R ist natürlich die Elementrelation und mit obigen *Annahmen* ist { x | P(x) } eben das durch (2) gegebene p, welches nach (1) eindeutig bestimmt ist. Dass gegebenfalls pRp gilt, ist nicht ungewöhnlicher als Schlingen in einem Graphen.

Natürlich hat sich herausgestellt, dass diese Annahmen in der obigen Form nicht haltbar sind, wie man an der Formel P(x) = not(xRx) sieht.

Zur Illustration nehme man nun zu R ein einstelliges Prädikatssymbol M hinzu und betrachte ein (nicht näher spezifiziertes) Modell der leeren Theorie über R und M, sowie die folgende Variante obiger Anforderungen

(0) All x [ M(x) <-> Exists y xRy ]

(1) All x All y [ [ All z (zRx <-> zRy) ] <-> (x = y) ]

(2) für jede Formel P(v) mit einer freien Variablen v existiert ein p mit
All x [ [ P(x) & M(x) ]<-> xRp ]

Die intendierte Interpretation für R ist die Elementrelation, die Objekte nennen wir Klassen, diejenigen mit der Eigenschaft M nennen wir Mengen. Mit noch ein paar anderen Axiomen erhält man NGB, wo die gleiche Argumentation wie beim Russelschen Beispiel zeigt, dass die Klasse { x | not(xRx) } keine Menge ist.

Langsam bekomme ich ein schlechtes Gewissen ob der Verlängerung der Kommentare. Du kannst mir (falls da noch Klärungsbedarf ist) auch einfach eine mail schicken.