Hadmut Danisch

Ansichten eines Informatikers

Lineare Algebra: Matrix-Diagonalisierung in Blech geschweißt

Hadmut
26.7.2015 10:05

Ging mir noch so durch den Kopf.

Ich hab doch erzählt (naja, gebloggt), dass ich letztes Jahr den Sportbootführerschein See und letzten Sonntag den für Binnen gemacht habe.

Da bleibt es nicht aus, sich mit ein paar Sachen an Booten, Tonnen und so weiter zu befassen, beispielsweise auch den sogenannten „Radarreflektoren”. Das sind seltsam anmutende Blechgebilde, die man auf Boote, auf Tonnen, an Brücken und so weiter baut, und die aus je drei rechtwinklig zueinander stehenden Blechstücken bestehen. Sieht beispielsweise so aus. Oder so. Gibt es zur festen Montage, und zum Hochziehen am Mast bei Bedarf (Nebel, Dunkelheit usw.).

Wozu dient das? Reflektiert (oder um präzise zu sein: retroflektiert) das Radarsignal von anderen Booten mit Radar und sorgt so dafür, dass man auf deren Radarbild auftaucht, weil moderne Boote aus Kunststoff, alte Boote aus Holz oder eben auch Brücken aus Stein sonst nicht sichtbar sind. Kommt sogar in zwei Prüfungsaufgaben vor (Fragen 208 und 242), muss man also wissen.

Das Funktionsprinzip kennt man auch vom Katzenauge, wie etwa den Plastik-Reflektoren am Fahrrad. Wenn man sich die mal genau anschaut, dann sieht man, dass die außen glatte sind, und nach innen hin viele kleine pyramidenförmige Spitzen haben, jeweils dreiseitig und rechtwinklig. Genau wie das Blech bei den Radarreflektoren. Nur eben für andere Frequenzen. Bei Radar verwendet man Metallblech, im Bereich sichtbaren Lichts eben gewöhnliche Spiegel oder Prismen. Das Prinzip ist das Gleiche: Man leuchtet in eine Ecke aus drei rechtwinklig zueinander stehenden, reflektierenden (also nach Spiegel-Weise) Flächen, und das Licht bzw. der Radar-Strahl geht in die gleiche Richtung zurück, aus der er kam.

Warum aber ist das so?

Wie prüft oder zeigt man das optisch oder geometrisch?

Eigentlich ganz einfach. Trivial.

Welche Eigenschaften haben spiegelnde Flächen? Der Richtungsbestandteil des Lichts, der rechtwinklig auftrifft, wird genau zurückgeworfen, während die beiden anderen, parallel zur Ebene liegenden Bestandteile unverändert bleiben. Für jede einzelne Spiegelfläche ist also genau senkrecht auftreffendes Licht bzw. der dazugehörige Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 (Dämpfung vernachlässigen wir hier mal.) Und weil die drei Flächen jeweils senkrecht zueinander stehen, bleibt jeder dieser Eigenvektoren von den anderen Flächen unverändert, weil diese Eigenvektoren jeweils parallel zu den anderen Flächen stehen und von diesen nicht reflektiert werden. Damit kann man also eine Basis aus Eigenvektoren bauen und die Abbildungsmatrix diagonalisieren.

Stellt man also den Vektor eintreffenden Lichts durch eine Basistransformation vom Bezugssystem zu einer orthogonalen Basis dar, die aus diesen drei Eigenvektoren, also den Normalvektoren der drei Spiegelflächen besteht (kann man sich auch einfach so vorstellen, dass eben die Ecke und die drei Kanten zwischen den Spiegel den Vektorraum aufspannen, also so wie es naheliegt), dann ist innerhalb dieses Bezugssystems jede Spiegelung durch eine Diagonalmatrix beschrieben, die in der jeweiligen Koordinate eine -1 und anonsten 1 auf der Diagonale hat.

Was passiert, wenn der Lichtstrahl alle drei Spiegelungen durchschreitet? Die Spiegelungen werden hintereinander ausgeführt, die drei Diagonalmatrizen multiplizieren sich. Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix mit allen Werten -1. Und bemerkenswerterweise kommt es auf die Reihenfolge nicht an. Egal in welcher Reihenfolge die Spiegelungen auftreten, das Ergebnis der Multiplikation der Spiegel-Matrizen ist immer das Gleiche.

Und das ist beachtlich, denn dadurch wird der Licht-Vektor im Ergebnis immer exakt zurückgeworfen, weil einfach alle drei Koordinaten einen Vorzeichenwechsel durchlaufen. So wird aus drei Reflektionen eine Retroflektion. Weil der Raum dreidimensional ist, jede Spiegelung eine Koordinate im Vorzeichen invertiert, und drei Spiegelungen so eben drei Vorzeichenwechsel machen.

Und damit kann man wunderbar zeigen, dass so eine Drei-Flächen-Ecke retroflektiert. Man schicke einen Lichtstrahl rein, und beschreibe den als Vektor. Dann transformiert man die Darstellung von der Normalen Basis in die Basis aus den drei Normalenvektoren der Flächen. Jede reflektiert innerhalb dieser Basis, indem nur die Koordinate mit -1 multipliziert wird, also der Multiplikation mit einer Diagonalmatrix, die auf der Diagonale nur -1 hat (und ansonsten Null). Damit sieht man unmittelbar, dass das reflektierte Licht in genau die entgegengesetzte Richtung geht. Und transformiert man das durch den inversen Basiswechsel wieder zurück, um im ursprünglichen Koordinatensystem wieder rauszukommen.

Wir haben also die Retroflexion als eine Abbildung der Form v’ = Q · R · Q-1 · v , wobei Q die Stellung des Reflektors bezüglich des Bezugssystems beschreibt und R eine Diagonalmatrix mit eben nur -1 als (Eigen-)Werten ist.

Was aber passiert, wenn der Lichtstrahl eben nicht alle drei Spiegelungen durchläuft, sondern nur ein oder zwei?

Da kann man drei Fälle unterscheiden:

  • Es gibt den Fall, dass der Strahl die Spiegelung durchlaufen hätte, wenn die Spiegelflächen nur unendlich groß gewesen wären. Weil die Radarrefflektoren aber nur endliche Größe haben, kann es ja passieren, dass der Relektionspunkt da gewesen wäre, wo einfach kein Blech mehr ist. Pech gehabt, der Strahl ist verloren, ein bisschen Schwund ist halt immer. Macht aber nichts, weil der Radar-Empfänger empfindlich genug ist.
  • Es gibt den Fall, dass der Strahl nicht reflektiert wird, weil er „von hinten” kommt. Baut man die drei Spiegel nur als eine Ecke auf, funktioniert das halt nur in einem Quadranten. Deshalb sind Reflektoren auf Booten immer so gebaut, dass sie alle acht Quadranten abedecken, also in jeder Richtung eine Ecke haben, und bei Tonnen eben so, dass sie in horizontaler Ebene reflektieren, weil Boote sich eben in der Realität meist in der Nähe der Wasseroberfläche bewegen (bzw. nur da noch funktionierendes Radar haben…).
  • Der Dritte Fall wäre, dass der Lichtstrahl deshalb ein oder zwei Reflektionen auslässt, weil er parallel zu ein oder zwei der Spiegelflächen eintrifft, sie also auch nicht zur Reflektion treffen würde, wenn die Flächen unendlich wären. Macht aber auch nichts, weil dann die Matrix als Produkt von ein oder zwei Spiegelungen zwar gemischt aus -1 und 1 bestehen würde, der eintreffende Lichtvektor innerhalb dieser Basis aber gerade an den Stellen, an denen eine +1 steht, selbst eine Null hätte, es also auf +1 oder -1 nicht ankommt. Auch dann wird der Strahl exakt reflektiert.

Find ich jetzt scharf. Ein Isomorphismus, eine Abbildung mit dreidimensionalem Eigenraum zum Eigenwert -1, dazu noch eine Darstellung in Koordinatentransformation in den Vektorraum aus Eigenvektoren, und das alles aus Blech geschweißt zum Angucken. Ist das nicht herrlich?

Ha! Da sieht man wieder mal, wofür lineare Algebra alles gut sein muss. Ich habe das vor 30 Jahren mal studiert und war mir damals schon sicher, dass mir das irgendwo mal wieder begegenen wird.

Und jetzt der Brüller: Als ich für den Blog-Artikel nach schönen Bildern von Radarreflektoren gesucht hat, bin ich drauf gestoßen, dass die Sendung mit der Maus die auch schon erklärt hat:

Leute, ist das nicht geil?

80 Kommentare (RSS-Feed)

Erik
26.7.2015 10:23
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Du kannst auch gleich das Koordinatensystem so legen, dass es mit den Richtungen der Spiegel(-normalen) übereinstimmt. Der einfallende Strahl kommt dann eben als irgendein Vektor an, da ist keine Koordinatentransformation mehr nötig.

Unter dem Begriff “Tripelspiegel” kommt das auch durchaus im Physikunterricht der Schule vor, ich weiß aber jetzt nicht mehr, ob erst in der Oberstufe oder schon vorher.

Ansonsten ist Reflexion schon etwas komplizierter als in der geometrischen Optik, siehe etwa “Fresnelsche Formeln” bei Wikipedia.

Und, zu guter Letzt, in 3D würde man eher Oktant als Quadrant sagen … aber nicht mit dem gleichnamigen Navigationsgerät verwechseln! 😉


Hadmut
26.7.2015 10:38
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> Du kannst auch gleich das Koordinatensystem so legen, dass es mit den Richtungen der Spiegel(-normalen) übereinstimmt.

*Seufz*

Genau davon handelt doch dieser Artikel. Genau das macht die Transformation Q, nämlich das äußere Bezugssystem in das Koordinatensystem des Spiegels zu überführen. Man kann das Koordinatensystem des Spiegels aber nicht als festes allgemeines Koordinatensystem vorgeben, weil es erstes mehrere davon gibt, zweitens keine Vorschrift existiert, wie der Spiegel auszurichten ist und sich die Spiegel drittens auch bewegen.

> Unter dem Begriff “Tripelspiegel” kommt das auch durchaus im Physikunterricht der Schule vor

Kam bei uns nicht vor.

> Ansonsten ist Reflexion schon etwas komplizierter als in der geometrischen Optik, siehe etwa “Fresnelsche Formeln” bei Wikipedia.

*Seufz*

Spielt hier keine Rolle, weil mich die Polarisation nicht interessiert, auch die Stärke der Reflexion nicht intereressiert, sondern nur der Winkel. Der Winkel hängt aber nur bei der Brechung vom Material ab, die Reflektion läuft meines Wissens immer nach Eintrittswinkel = Austrittswinkel.

> Und, zu guter Letzt, in 3D würde man eher Oktant als Quadrant sagen … aber nicht mit dem gleichnamigen Navigationsgerät verwechseln!

Herr Lehrer, Herr Lehrer, ich weiß was! *Fingerschnippen, Fingerschnippen*


CountZero
26.7.2015 10:29
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> Leute, ist das nicht geil?

🙂 The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.

(Eugene P. Wigner)
Ich finds auch jedesmal wieder atemberaubend! 😀 Ernsthaft!


FKH
26.7.2015 10:39
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Ist ja vollkommen frauendiskriminierend. Abschaffen und auf dem See untergehen 🙂

Nee, im Ernst: Echt coole Sache. Gerade was auch an Denkarbeit hinter diesen Bojen steckt, finde ich hochgradig toll. Klasse Arbeit.


Hadmut
26.7.2015 10:42
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> Gerade was auch an Denkarbeit hinter diesen Bojen steckt,

Oh, oh, ganz großer Fehler, mit dem man sich als Landrate und Nichtwisser outet, und jeden Seefahrer mit Grausen abwenden lässt: Bojen sind so kleine dumme schwimmende Dinger aus Plastik, die als Ankerboje einen Anker kennzeichnen. Ansonsten redet da kein Mensch von Bojen. Die großen Dinger heißen Tonnen.


ex_pyx
26.7.2015 10:55
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@Hadmut
“Ansonsten redet da kein Mensch von Bojen. Die großen Dinger heißen Tonnen.”

Ich glaub, bei uns an der Nordsee heissen die +Seezeichen+ (Fahrrinne etc) “Tonnen”, “Bojen” sind alle anderen – unabhängig von der Grösse.

Es kommt scheinbar nicht auf die Grösse an – wie so oft im Leben 🙂


Hadmut
26.7.2015 10:59
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> Ich glaub, bei uns an der Nordsee heissen die +Seezeichen+

Seezeichen bzw. Schifffahrtszeichen ist meines Wissens der Oberbegriff und umfasst neben der Betonnung auch andere Zeichen, die beispielsweise an Land stehen können, wie Leuchttürme, Feuer oder andere Verkehrszeichen und dergleichen, oder an einem Schiff angebracht sein können.


yasar
26.7.2015 10:59
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Hadmut
26.7.2015 11:00
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@Yasar: Genau den habe ich doch im Artikel eingebunden.


ex_pyx
26.7.2015 11:01
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@Hadmut

richtig, korrekt ist wohl “die +schwimmenden+ Seezeichen heissen Tonnen” (wenn’s keine Feuerschiffe sind 🙂


FKH
26.7.2015 11:01
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Dann heißen sie halt Tonnen. Und ich hab mich nicht als „Experte“ angeprießen.
Bin ja keine Frau 😀

Ich hab echt wenig Ahnung von solchen Sachen, und finde Deinen Artikel darüber echt toll. Immer klasse, wenn man was neues kennenlernen kann.

Ich weiß ja, daß Schiffe/Boote mit Radar unterwegs sind, doch war mir nicht ganz bewußt, daß viele Boote die Radarstrahlen einfach verschlucken. Insofern ist das von Dir beschriebene System sehr interessant. Die Logik der Reflektion verstehe ich insofern, weil ich als Designer räumlich denke und mir das auch vorstellen kann. Mathematisch kann man mich in die Tonne treten. Aber diesen Beruf hab ich mir auch nicht erwählt 🙂


yasar
26.7.2015 11:01
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Ups man sollte nicht posten, bevor man zu ende gelesen hat. 🙂


ex_pyx
26.7.2015 11:06
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Ähem, ja, ganz vergessen: danke für den Artikel – mal wieder gut beschrieben – und das Mausvideo ist halt typische Qualität; bei 100 Mausvideos lernt man schätze ich etwa so viel wie im Grundstudium Soziologie.


ex_pyx
26.7.2015 11:12
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@FKH

“Dann heißen sie halt Tonnen. Und ich hab mich nicht als „Experte“ angeprießen.”

… und …

“Mathematisch kann man mich in die Tonne treten”

Daher sollte es korrekt heissen:

“Mathematisch kann man mich in die BOJE treten” 🙂


Erik
26.7.2015 11:14
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Och, sorry, Hadmut … das sollte nicht oberlehrerhaft wirken.
Ich habe dieses ganze Zeugs auch eine (zu) lange Zeit lang studiert. Wenn ich da etwas gelernt habe, dann, dass man bei solchen Problemen durch eine geeignete Modellierung, das heißt hier, durch eine geeignete Wahl des Koordinatensystems, eine Menge Aufwand sparen kann. Was ich damit sagen wollte: Ich halte das für Overkill, die Methoden der Linearen Algebra auf Universitätsniveau auszupacken, um diesen Reflektor zu erklären. Aber in der Sache hast du natürlich Recht.


FKH
26.7.2015 11:35
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@ex_pyx: Mathematisch auf jedenfall. Doch logisch nicht unbedingt 😉

Stimmt schon (siehe Erik), daß die algebraische Herleitung Overkill ist. Einfacher wäre das Prinzip beschrieben, wenn man sagt, daß drei Flächen, die in einem 45º-Winkel zueinanderstehen, jeden Lichtstrahl bzw. Radarstrahl genau zum Ausgangspunkt zurückwerfen, denn die Auftrittsfläche spiegelt auf eine der anderen Flächen und wirft den Eintrittsvektor über 2 Bande gespielt (fast genau) zurück. Fahrradreflektor in groß.

Doch funktionieren tut dies in diesem Dreiecksgebilde nur, wenn die nicht nur in einem 45º-Winkel zueinander sondern zusätzlich 30º in der Vertailachse verschoben stehen.

Echt geil. Simpel und einfach. Brauch man aber kein Algebra dazu 🙂 Wobei aber Algebra das auf andere Weise beschreiben kann. Insofern 2 Herangehensweisen.

Thanks Hadmut. Cool, sich über „vertraute“ Dinge nochmals Gedanken machen zu können.


Hadmut
26.7.2015 11:55
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@FKH:

> Einfacher wäre das Prinzip beschrieben, wenn man sagt, daß drei Flächen, die in einem 45º-Winkel zueinanderstehen, jeden Lichtstrahl bzw. Radarstrahl genau zum Ausgangspunkt zurückwerfen, denn die Auftrittsfläche spiegelt auf eine der anderen Flächen und wirft den Eintrittsvektor über 2 Bande gespielt (fast genau) zurück. Fahrradreflektor in groß.

Mal abgesehen davon, dass der Winkel 90° und nicht 45° beträgt, ist das keine Herleitung.

> denn die Auftrittsfläche spiegelt auf eine der anderen Flächen und wirft den Eintrittsvektor über 2 Bande gespielt

Das ist nur verbal scheinbar flüssige Beschreibung, aber keine Herleitung und stimmt auch nicht. Das ist nur die Behauptung, dass es genau zurückspiegelt, aber keine Erklärung dafür, warum. Es kommt nämlich auch nicht drin vor, dass die Dinger rechtwinklig stehen müssen. Stehen sie schief, stimmt die verbale Beschreibung immer noch, aber es retroflektiert eben nicht.

Man muss sich sehr hüten, sich etwas zurechtzureden.

> Fahrradreflektor in groß.

Das ist auch keine Erklärung, weil A funktioniert wie B, und B ist gebaut wie A, erklärt überhaupt nicht, warum A und B funktionieren.

Das ist genau das, was ich mit meiner Bildungskritik immer meine: Erklären im Naturwissenschaftlichen Sinne wird durch Erklären im Verbal-Sinne ersetzt, weil es sich schön flüssig liest, und auch viel leichter rüberkommt, aber letztlich nichts erklärt, sondern nur unscharf beschreibt.

> Doch funktionieren tut dies in diesem Dreiecksgebilde nur, wenn die nicht nur in einem 45º-Winkel zueinander sondern zusätzlich 30º in der Vertailachse verschoben stehen.

Wie kommst Du denn darauf?

Ich habe doch durch die Koordinatentransformation gezeigt, dass es auf die Stellung nicht ankommt.

Kann es auch nicht, denn sonst müsste man das Boot ja festschrauben oder könnte den Reflektor nicht einfach an einer Schot im Wind baumelnd hochziehen.

Da sieht man mal, dass es doch kein Overkill ist, Mathe statt sprachliche Beschreibungen zu verwenden.


FKH
26.7.2015 11:36
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Mist.. vertippt: Vertikalachse statt „ Vertailachse“.


Hadmut
26.7.2015 11:59
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Welche Rolle soll da überhaupt die „Vertikalachse” spielen und warum 30° gegenüber der Vertikalachse? Und was soll überhaupt das Bezugssystem für „Vertikal” sein? Das ist normalerwiese die Gravitationsrichtung, und die hat ja hier nun gar keine Bedeutung.


Christoph
26.7.2015 11:45
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@Hadmut
> Der Winkel hängt aber nur bei der Brechung vom Material ab, die Reflektion läuft meines Wissens immer nach Eintrittswinkel = Austrittswinkel.

Ist hier für die Metallbleche wohl richtig, gilt aber im Grunde nur für “glatte” Oberflächen, d.h. Flächen, deren Unebenheiten klein gegenüber der Wellenlänge der einfallenden Strahlung ist. Dann bekommt man das Reflexionsgesetz.

Ist die Fläche dagegen “rau”, sind also die Unebenheiten groß gegenüber der Wellenlänge, so wird diffus reflektiert. Bei diffuser Reflexion hängt die Ausfallsrichtung nicht mehr von der Einfallsrichtung ab, sondern nur noch von der Flächennormalen der Oberfläche.


Manfred P.
26.7.2015 11:50
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Schöner Artikel, doch.

Ich musste nur kurz überlegen bei v’ = Q R Q⁻¹ v …

Wenn Q die Koordinatenvektoren des Blechs (B) in der Darstellung des “äußeren” Koordinatensystems (A) sind, also dem Koordinatensystem, in dem der Lichtstrahl dargestellt wird, dann vermittelt Q den Basiswechsel von B->A. Also muss man zuerst Q invertieren…

Ich gerate da jedesmal durcheinander, weil oft vom Basiswechsel A->B ausgegangen wird und diese Matrix dann z.B. T genannt wird, und die Gleichung dann v’ = T⁻¹ R T v ist.


Bill
26.7.2015 11:51
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die Sendung mit der Maus….
das war’n noch Zeiten…
ich bin ja soooo alt


Manfred P.
26.7.2015 11:57
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@CountZero

Ich musste daran denken, ohne damals von Wigners Artikel zu wissen, als ich zum ersten Mal den harmonischen Oszillator durchrechnete, à la Feynman mit komplexen e-Funktionen und Realteil nehmen und so.

Damals fragte ich mich, wie es denn sein kann, dass eine so einfache Modellierung, Rückstellkraft = const * Elongation, über eine rein mathematische Lösung der resultierenden DGL ein doch recht zutreffendes Bild von harmonischen Schwingungen vermitteln kann.

Das hat mich damals sehr gewundert. Und auch, wie aus einem Variationsprinzip die Lagrange-Gleichungen hergeleitet werden können. Ich meine, es ist ja nicht trivial, dass man einmal von virtuellen Verrückungen ausgeht und das andere Mal von einem Wirkungsprinzip, und dann dieselben Gleichungen erhält…

Eigentlich bin ich davon heute noch fasziniert, hehe.


Manfred P.
26.7.2015 12:05
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>Da sieht man mal, dass es doch kein Overkill ist, Mathe statt sprachliche Beschreibungen zu verwenden.

Nein, meistens kann man die Sachverhalte sogar sehr viel einfacher ausdrücken.

Das Problem für die meisten ist es, die Problemstellung in Formeln zu übersetzen und das Resultat der Rechnung wieder zu interpretieren.

Wenn man sich in ein neues Gebiet einlesen will/muss, wird es manchmal dadurch sehr schwer, wenn es Notationskonventionen gibt, die jeder irgendwie als selbstverständlich betrachtet aber nirgendwo erklärt sind.

Dann hängt man da und rätselt, was wohl der Index bezeichnet, über den da summiert wird… und muss sich das überlegen, wo eine kurze Bemerkung einem viel Zeit gespart hätte.

Wie z.B. bei v’ = Q R Q⁻¹ v, stände da nicht noch “wobei Q die Stellung des Reflektors bezüglich des Bezugssystems beschreibt”


FKH
26.7.2015 12:18
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Hadmut, das stimmt schon was Du sagst. Ich sehe mir das offengestanden nur grob an und versuche zu verstehen, wie die Vektoren reflektiert werden. Das Prinzip hab ich ja kapiert, nur müßte ich halt auch die Winkel dieser Box ausmessen können, um wirklich zu wissen, im welchem Winkel die zueinanderstehen. Und diese Box hab ich nicht vor mir, und wie ich bereits sagte, bin ich an Hardcore-Mathe nicht interessiert. Mein Job ist das Erfassen, wie etwas geht, wohin etwas geht, wie ich es in meine Konzepte einbauen kann – und da verlasse ich mich dann en detail auf die Experten. Bspw. könnte ich Dich wegen eines Problems anhauen. Und klar ist das alles komplex. Und muß schauen, wie man diese 2 Sichtweisen unter einen Hut bringt. Dafür gibt es Menschen wie Dich. In aller Ehre. Bin immerwieder baff, wie detailliert ein Mathematiker, Informatiker etc. solche Dinge auseinanderzureissen weiss.

Aber das ist halt mein Job als CD, AD von Webseiten, Branding und Corporate Designs. Ich muß den Überbau schaffen, die richtigen Experten geben mir den notwendigen Input.

Ich lese Deinen Blog ziemlich lang und ich sehe es ja auch, daß die Rettung aus so einem Dilemma nicht beinhaltet, daß man bspw. Glitzerfolie auf ein Handy klebt bzw. einen Störbutton für unwillkommene Anrufe einbaut. Mit solchen Leuten kann ich echt nichts anfangen, und das führt nirgendwo hin. Dahingehend ist Deine Aussage, daß solche über Seilschaften ins Rennen kamen, wahrlich zutreffend, denn objektiv gesehen wäre mit diesen „Experten“ kein einziges Projekt realisierbar. Kunde wäre schon längst weggelaufen.

Fristen also ein bezahltes Nischendasein, irgendwo in einem stylischen Büro, mit Cafe Latte, und abends auf die Latte des stylischen Homeboys aus dem Luxusghetto, und ansonsten viel Bla Bla, weil ja Nichtreden tödlich wäre, weil halt der Flug des Jobdaseinsballons insofern gefährdet wäre, würde man diesen nicht immerwährend mit heißer Luft versorgen.

Aber darum gehts bei mir (hier) nicht. Ich finde Deinen Artikel interessant, hat zum Nachdenken angeregt (heute an einem langweiligen Sonntag), und sorgt hiermit für interessante Diskussion.

Dankeschön.


Hadmut
26.7.2015 12:25
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> Das Prinzip hab ich ja kapiert, nur müßte ich halt auch die Winkel dieser Box ausmessen können, um wirklich zu wissen, im welchem Winkel die zueinanderstehen.

Wie erwähnt rechtwinklig, genau 90° zueinander, mit orthogonalen Normalenvektoren.

Interessante Frage, ob das so sein muss, oder ob es auch mit anderen Winkeln geht.

Eine zentrale Erfordernis ist, dass das Produkt der drei Reflexionsmatrizen eine Diagonalmatrix mit -1 auf allen Diagonalwerten ist. Das könnte man vermutlich auch mit anderen Winkeln hinbekommen (was auszurechnen wäre).

Aber das Ding soll ja auch funktionieren, wenn das Licht parallel zu einem oder zweien der Spiegel eintrifft. Das dürfte zwar sehr selten exakt der Fall sein, aber zeigt, dass die einzelnen Abbildungen je eine -1 und lauter 1 haben müssen, und damit das zusammen eine -1-Diagonale gibt müssen sie orthogonal, also rechtwinklig sein.

Ich habe außerdem den Verdacht, dass jede Lösung, die für nicht-rechtwinklige Spiegelungen algebraisch zu finden wäre, eben nicht mit den physikalischen Eigenschaften der Reflektion übereinstimmt, also einfach nur irgendeine isomorphe Abbildung wäre, die in der Optik aber nicht vorkommt.


FKH
26.7.2015 12:30
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@ Hadmut: „Welche Rolle soll da überhaupt die „Vertikalachse” spielen und warum 30° gegenüber der Vertikalachse? Und was soll überhaupt das Bezugssystem für „Vertikal” sein? Das ist normalerwiese die Gravitationsrichtung, und die hat ja hier nun gar keine Bedeutung.“

Schonmal Pool gespielt?

Hast im Pool 4 Banden. Kannst, wenn Du gut bis, eine Kugel über 4 Banden spielen. Eintrittswinkel = Austrittswinkel. Spielst auf Bande A, die Kugel geht auf Bande B, und so weiter.

Im dem Dreiecksmodell haben wir 3 Banden. Und diese stehen von oben betrachtet in einem bestimmten Winkel zueinander. Kugel bzw. Lichtstrahl (Radarstrahl) trifft auf Bande A, wird reflektiert auf Bande B und wieder zurückgewofen.

Jetzt sind die aber zueinander nochmal verschoben. Die stehen nicht in einem 90º-Winkel zueinander sondern nicht nochmals verschoben. Ich schätze 30º.

Und deswegen fliegt die Kugel immer zum Ursprung zurück, weil alle drei Flächen immer im gleichen (Winkel)Verhältnis zueinanderstehen.

Egal, wo die Kugel auftrifft, sie immer gleich abgestoßen und im gleichen Winkel zurückgeführt.

Oder lieg ich jetzt vollkommen falsch? 🙂


Hadmut
26.7.2015 12:47
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@FKH:

> Schonmal Pool gespielt?

Billardkugeln sind gravitationsbehaftet, deshalb muss die Tischebene orthogonal zum Gravitationsvektor stehen, damit die Kugeln keine Gravitationsbeschleunigung erleiden. Licht und Radarwellen sind nicht gravitationsabhängig (zumindest in dem hier betrachteten Szenario vernachlässigbar, da in Radarreflektoren gewöhnlich keine schwarzen Löcher hausen, dann würden sie nämlich gar nichts mehr retroflektieren).

> Kannst, wenn Du gut bis, eine Kugel über 4 Banden spielen.

> Im dem Dreiecksmodell haben wir 3 Banden.

Mir graust’s gerade vor der Denkweise.

Beim Reflektor haben wir drei Dimensionen und drei orthogonale Spiegel, die jeweils eine der Dimensionen abbilden.

Billard/Pool sind massiv zweidimensional (von den Hüpfern mal abgesehen). Um das Analogon zum Radarreflektor im Billard zu finden, musst Du dieselbe Überlegung im Zweidimensionalen anstellen, also von zwei Banden ausgehen, und nicht von drei. Drei ist keine magische Zahl, sondern es geht darum, dass man so viele Spiegel wie Dimensionen hat.

Insofern müsste es so sein, dass die Kugel in der gleichen Richtung zurückkommt, wenn man über zwei rechtwinklig zueinander stehende Bande spielt (oder wie im Artikel angesprochen, paralell zu einer, also genau senkrecht gegen die andere). Und das müsste man auch ohne Vektorrechnung mit einfacher Dreiecksgeometrie ausrechnen können.

> Jetzt sind die aber zueinander nochmal verschoben. Die stehen nicht in einem 90º-Winkel zueinander sondern nicht nochmals verschoben. Ich schätze 30º.

Hä!?

Ich habe noch nie gehört, dass auf einem Billard-Tisch irgendetwas in einem 30°-Winkel stehen würde.

> Und deswegen fliegt die Kugel immer zum Ursprung zurück, weil alle drei Flächen immer im gleichen (Winkel)Verhältnis zueinanderstehen.

???

> Oder lieg ich jetzt vollkommen falsch?

Ich habe überhaupt nicht verstanden, was Du mir da sagen willst und was da 30° haben soll, zumal ich nie Pool spiele und mich damit überhaupt nicht auskenne.

Aber es hört sich wirklich nicht richtig an. Ich habe den Eindruck, Du hast das mit den Vektorräumen, den Abbildungen, den Matrizen nicht verstanden und versuchst jetzt, Dir das mit Analogien irgendwie verständlich zu machen.

30°-Winkel kommen da nirgends vor.

Radarreflektoren und Billard/Pool-Tische haben exakte 90°-Winkel.


FKH
26.7.2015 12:38
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@ Hadmut: Man sieht auch am „Maus-Film“, daß der Lichtstrahl mehrfach zurückgeführt wird. Also reflektiert er an mehreren Flächen. Der Winkel der drei Spiegel zueinander garantiert hiermit 100% Rückführung.

Also manchmal ist die Groberklärung schon gut, um die Detailerklärung besser verstehen zu können.

Frauendiskriminierend ist es natrülich immernoch: Denn mit Glitzerfolie hätte das nie funktioniert, ergo sind Männer scheiße. Und dafür braucht man den Störbutton.


Hadmut
26.7.2015 12:50
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> @ Hadmut: Man sieht auch am „Maus-Film“, daß der Lichtstrahl mehrfach zurückgeführt wird. Also reflektiert er an mehreren Flächen.

Nein.

Er wird zwar an allen drei Flächen reflektiert, aber man sieht ihn erst hinterher als einen Strahl (natürlich mit gewisser Aufweitung, weil die Spiegel in der Realität nicht perfekt sind).

Ich habe eine dringende Bitte an Dich:

Hör bitte auf, hier Dauerfeuer in den Kommentarbereich zu geben. Das ist hier keine Nachhilfestunde in Mathe.

Setzt Dich bitte hin und versuche, das mal alleine für Dich zu verstehen und nachzuvollziehen.

Es gibt halt Leute, die sind haptisch veranlagt, und die müssen alles anfassen. Und es gibt andere, die sind verbal veranlagt, die müssen alles mit jemandem bereden und sich in verbalen Beschreibungen ergehen. In Blogs und Foren ist sowas aber sehr nervig.


FKH
26.7.2015 13:26
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Es gibt halt Leute, die sind haptisch veranlagt, und die müssen alles anfassen. Und es gibt andere, die sind verbal veranlagt, die müssen alles mit jemandem bereden und sich in verbalen Beschreibungen ergehen. In Blogs und Foren ist sowas aber sehr nervig.

Mal ganz offen: Wenn Du mich nicht in Deinem Blog haben willst, dann sag es doch offen. Aber mit so einem Sermon zu kommen, der sich auch noch inhaltlich widerspricht, empfinde ich dies als Beleidigung, und Dich als vollkommen unzurechnungsfähig.

Du erscheinst mir genauso unzurechnungsfähig wie das, was selbst kritisierst.

Sorry. Aber ich bin im meinem Leben schon durch mehrere Lagen Bullshit durch. Und Du toppst es nicht.

Schönen Tag noch. Hoffe, Du hast in Berlin auch schönes Wetter. Schade, daß man mit dir doch nicht disktutieren kann. Wofur hast eigentlich diesen Blog?


Hadmut
26.7.2015 13:43
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> Wenn Du mich nicht in Deinem Blog haben willst, dann sag es doch offen.

Ich habe doch gar nichts gegen Dich.

Aber wenn Du jemanden auf der Straße anquatschst und in ein Hin-und-Her-Gespräch verwickelst, dann merkst Du durch Mimik und Gestik desjenigen, wenn Du da irgendwie daneben liegst, und der das nicht so toll findet. Dieses außersprachliche Feedback fehlt in einem Forum völlig. Deshalb muss man den Leuten das manchmal direkt sagen.

Ich habe außerdem ein Zeitproblem und heute viel zu tun. Das Bloggen kostet mich schon enorm viel Zeit, ich kann da nicht noch kostenloses Einzel-Coaching drauflegen.

> empfinde ich dies als Beleidigung, und Dich als vollkommen unzurechnungsfähig.

Solche Einschätzungen wären dann wohl der Grund, Dich in der Realität einfach stehen zu lassen und zu gehen, was ich hier im Blog aber leider nicht kann, ich muss ja da bleiben.

> Du erscheinst mir genauso unzurechnungsfähig wie das, was selbst kritisierst.

Dann empfehle ich, die Wahl der Blogs, die Du liest, zu überdenken und eine bessere Auswahl zu treffen.

> Aber ich bin im meinem Leben schon durch mehrere Lagen Bullshit durch. Und Du toppst es nicht.

Was meine Motivation, mit Dir zu „diskutieren”, nicht fördert.

> Schönen Tag noch. Hoffe, Du hast in Berlin auch schönes Wetter.

Ja. Wunderbares Wetter. Deshalb wollte ich eigentlich auch nicht so viel Zeit am Rechner mit Kommentar-Ping-Pong verbringen.

> Wofur hast eigentlich diesen Blog?

Steht in der Überschrift.


Der (r)echte Staat
26.7.2015 14:59
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@FKH: Einfach mal Deinen Experten virtuell ein simples 3D-Modell mit verschiedenen Winkeln und einer Spotlichtquelle in einem vernebelten Raum erstellen lassen. Im Rendering kann man dann die komplette Laufbahn des Lichtstrahls sehen. …Kunst-Direktoren nicht mögen oder können tun… ?!? 😀


Alex
26.7.2015 16:05
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Man ist doch nicht kompliziert. Stellt euch das in nem n Dimensionen Raum mit orthonormalvasis vor und Verein facht dann aufs drei dimensionale


Hadmut
26.7.2015 16:08
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> Man ist doch nicht kompliziert. Stellt euch das in nem n Dimensionen Raum mit orthonormalvasis vor und Verein facht dann aufs drei dimensionale

Eben.

Dann klappt’s nämlich auch auf dem Billard-Tisch.


FKH
26.7.2015 16:35
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„Stellt euch das in nem n Dimensionen Raum mit orthonormalvasis vor und Verein facht dann aufs drei dimensionale.“

Oh geiles Deutsch.


FKH
26.7.2015 16:36
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Und der Pooltischgewinn ist Dir sicher, lieber Hadmut.


Hadmut
26.7.2015 16:37
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> Und der Pooltischgewinn ist Dir sicher, lieber Hadmut.

Was soll ich mit einem Pooltisch?


rleo
26.7.2015 16:40
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@Hadmut
wohl als Kind mit einem Fahrrad gefahren, beim dem die Beleuchtungseinrichtung kaputt war? 😉

Hinten ein roter Tripelspiegel und vorne ein weißer.
Manchmal gibt es an den Pedalen noch gelbe.
Dann wird man von Autos auch nachts gesehen, auch wenn man das Licht nicht an hat, weil grad der Dynamo kaputt ist.
Das geht auch mit Kugeln, die sind in vielen Verkehrsschildern und in den Warnwesten drin.
Auf dem Mond gibt es auch einen solchen Spiegel.

Und in Krimis wird das oft verwendet, um eine abhörsichere Lichtsignalverbindung zu haben, die man man geringer Lichtstärke betreiben kann.
3 x Taschenlampe, Luft ist rein.

Was mich viel mehr erstaunt, ist nicht, dass die Radarwellen reflektiert werden, viel erstaunlicher ist, finde ich, dass die an dem fetten Betonpfeiler durchgehen, bzw. ohne Echo stecken bleiben.
Als Physiker ist mir das klar, aber Physik in der Praxis ist immer wieder schön.


Hadmut
26.7.2015 16:59
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> wohl als Kind mit einem Fahrrad gefahren, beim dem die Beleuchtungseinrichtung kaputt war?

Mein Fahrrad war hässlich und immer dreckig, aber stets in Ordnung. Technisch habe ich das immer gepflegt.

Und natürlich weiß ich, was die Reflektoren machen und wofür man die hat.

Nur warum und wie sie funktionieren, ist nicht unmittelbar ersichtlich und mit Kinderwissen wohl auch nicht ganz verständlich. Frag mal Erwachsene danach, wie und warum die funktionieren.

> Das geht auch mit Kugeln, die sind in vielen Verkehrsschildern und in den Warnwesten drin.

Weiß ich. Bei Kugeln stellt sich die Frage aber so nicht, weil die – drum heißen sie Kugeln – rotationssymmetrisch sind und sich da im Gegenteil die Frage stellte, warum sie in eine andere ausgezeichnete Richtung strahlen sollten.

> Und in Krimis wird das oft verwendet

In Krimis springt James Bond auch in den Abgrund und fängt führerlose Flugzeuge im Flug ein. Manche Physiker halten Spaßvorlesungen um aufzuzeigen, was in Film und Krimi alles faul ist. Bruce Willis hat’s auch nicht mit Physik.


prx
26.7.2015 17:25
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> Leute, ist das nicht geil?

Die Sendung mit der Maus hat noch mehr Leckerbissen. So kann ich die auch jedem empfehlen, der die Grundlagen des Mobilfunknetzes verstehen will.


Hadmut
26.7.2015 17:32
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> Die Sendung mit der Maus hat noch mehr Leckerbissen. So kann ich die auch jedem empfehlen, der die Grundlagen des Mobilfunknetzes verstehen will.

Das Internet haben sie auch mal super erklärt. Ich glaube, das war das mit Typen in weißen Overalls, die als Internet-Pakete durch das Haus gerannt sind.


Optiker
26.7.2015 17:26
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Oh man Danisch, einfaches wieder akademisch umständlich ‘erklärt’ und dann wieder andere zusammenfalten die es einfacher und verständlicher können. Da ist wieder einer mächtig stolz auf seine 30 Jahre alten LA-Kenntnisse, dumm nur dass sich das auch ohne LA-Gewäsch in drei Sätzen mit Realschulmathematik für jedermann erklären lässt.

Da ist wieder Fremdschämen am späten Nachmittag angesagt.


Hadmut
26.7.2015 17:44
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@Optiker:

> Oh man Danisch, einfaches wieder akademisch umständlich ‘erklärt’

Das ist eine Frage des Blickwinkels und der Vorkenntnisse. Die, die es drauf haben, werden Dir sicherlich bestätigen, dass das sogar eine ganz einfache und einleuchtende Erklärung war.

Davon abgesehen: Es ist gar nicht das Ziel dieses Blogs, alles nur auf die einfachstmögliche Weise zu erklären.

> und dann wieder andere zusammenfalten die es einfacher und verständlicher können.

Wenn es sich einfach anhört, aber eben falsch ist oder nicht erklärt, warum es so läuft, wie es läuft, dann ist die Frage, ob die es „einfacher und verständlicher können” – oder eben nicht können. Nicht jede einfache Erklärung ist nämlich richtig. Erklären können fängt nämlich erst da an, wo es auch stimmt und vor allem erklärt, und nicht nur beschreibt.

Eine Erklärung habe ich da nicht gesehen.

> Da ist wieder einer mächtig stolz auf seine 30 Jahre alten LA-Kenntnisse,

Stolz bin ich nicht. Wieso auch? Haben doch zehntausende von Leuten gelernt. Was kann man daran stolz sein? Ich hab’s ja nicht mal erfunden.

Ich habe aber einfach Spaß dran. Lass Dir mal von jemandem, der darüber Bescheid weiß, den Unterschied zwischen Stolz und Spaß erklären. Du wirst staunen.

> dumm nur dass sich das auch ohne LA-Gewäsch in drei Sätzen mit Realschulmathematik für jedermann erklären lässt.

Mag sein (Mach mal! Das will ich sehen, ob das einfacher ist und im Kopf ohne hinschreiben geht. Die algebraische Lösung hat nämlich den Vorteil, dass man zu jemandem, der weiß, wovon man da redet, nicht viel sagen oder gar aufschreiben muss. Ich finde die LA-Erklärung nämlich gerade besonders einfach und ad hoc einleuchtend. Das will ich erst sehen, was einfacher sein soll.). Aber wer hat schon Spaß an Realschulmathematik? Hört sich an wie Spaß mit Stadtbus-Fahren.

Außerdem kann ich Dir mit Realschulmathematik auch nicht weiterhelfen, da war ich nie.

Und was sollte mich eigentlich daran hindern, in meinem Blog über Lineare Algebra zu schreiben? Ist das jetzt irgendwie auch als ausgrenzend, diskriminierend, rassistisch oder sowas deklariert worden?

> Da ist wieder Fremdschämen am späten Nachmittag angesagt.

Na, dann schäm Dich!


Manfred P.
26.7.2015 18:03
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@FKH

Du denkst echt viel zu kompliziert. Was passiert denn mit einem Lichtstrahl, der genau orthogonal auf die Spiegelfläche auftrifft?

Er wird genau zurückreflektiert, also um 180°.

Hat man jetzt so ein Katzenauge, mit drei paarweise orthogonalen Flächen, dann gilt das für jede Fläche einzeln auch.

Nun kann man einen beliebigen Lichtstrahl als Vektor betrachten. Da Vektoren Elemente eines linearen Raumes sind, kann man einen Vektor auch zerlegen und als Linearkombination schreiben.

Dann betrachtet man die Reflektion einer jeden Komponente für sich und setzt das Resultat hinterher wieder zusammen und schaut, was rauskommt.

Wenn man also für die Zerlegung die Eigenvektorbasis des Katzenauges nimmt, also die zu den Flächen orthogonalen Vektoren, dann wird jede Komponente einfach gespiegelt, d.h. um 180° reflektiert.

Dann schaut man sich das Resultat an, und siehe da, der resultierende Vektor läuft in die Richtung, aus der er gekommen ist.

Nichts anderes beschreibt Hadmut in seinem Artikel, indem er einen beliebigen Vektor in die Eigenvektorbasis transformiert, die Reflektion durchführt, und rücktransformiert in die alte Basis.

Nebenbei zeigt das, dass er sowohl die zugrundeliegende Mathematik als auch die Physik verstanden hat und diese Kenntnisse intelligent auf ein Alltagsproblem anwenden kann.

Um mal wieder auf die Geisteswissenschaftler draufzukloppen – was sich in letzter Zeit zu einem Hobby von mir entwickelt – die verstehen nicht, was man meint, wenn man davon redet, dass A genau merkt, ob B die Physik verstanden hat oder nicht und dass man das objektiv in einem Gespräch feststellen kann.

Die denken nämlich, alles sei Diskurs und soziales Konstrukt und die Feststellung rein willkürlich, ob einer was kapiert hat.

Einmal habe ich den Fehler begangen, zu so einer Deppin zu sagen, dass ich genau weiß, ob ich etwas verstanden habe oder nicht. Das Ergebnis war eine stundenlange, völlig schwachsinnige Diskussion über soziale Konstrukte, Perfektionismus und keine Ahnung was, einfach weil diese Subjekte das Gefühl und die Erfahrung nicht kennen, ein logisch strukturiertes Konzept zu durchdenken und tatsächlich verstanden zu haben.

Da redet man zu Geisteswissenschaftlern wirklich wie zu einem Blinden von der Farbe.


Hadmut
26.7.2015 18:17
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> @FKH Du denkst echt viel zu kompliziert.

Danke!

Ich finde das auch immer drollig, wenn Leute glauben, sie können etwas „einfacher” erklären und sich dann in fürchterlichen Basteleien und Ungenauigkeiten verfangen, und sich das Leben damit viel schwerer machen.

> Die denken nämlich, alles sei Diskurs und soziales Konstrukt und die Feststellung rein willkürlich, ob einer was kapiert hat.

Ja.

Das ist ein ganz massives Problem geworden, daher ja auch die Notenverschiebungen im Abi. Die bewerten dann selbst auch rein willkürlich und halten das dann für „diskursmächtig” oder „definitionsmächtig” wenn einer sagt, was richtig oder falsch war. Die kapieren das gar nicht, dass da ein mathematischer Gedankengang dahintersteckt.

> Da redet man zu Geisteswissenschaftlern wirklich wie zu einem Blinden von der Farbe.

Ja.


CountZero
26.7.2015 18:23
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@.Manfred P:
> Ich musste daran denken, ohne damals von Wigners Artikel zu wissen, als ich zum ersten Mal den harmonischen Oszillator durchrechnete,

Für mich war’s die Hamiltonsche Mechanik (da ist mir buchstäblich die Kinnlade ‘runtergefallen), dann (abgeschwächt) QM in gruppentheoretischer Sprechweise (mit Auf- und Absteigeoperatoren) und (am stärksten) Diracs Vierervektoren, die das Positron vorhersagten und mit der Forderung nach lokaler SU(2)-Eichinvarianz auch zu schwachen Strömen führten… 🙂

Leider kann ich heute darüber nur noch reden, aufgeschrieben krieg’ ich da nix mehr… 🙁 (okay, vielleicht abgesehen von klassischen Hamiltonians…)


Manfred P.
26.7.2015 18:34
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@Optiker

>dumm nur dass sich das auch ohne LA-Gewäsch in drei Sätzen mit Realschulmathematik für jedermann erklären lässt.

Dann mach mal.

Du musst immerhin mathematisch zeigen, dass die Rückreflektion für jede beliebige Einfallsrichtung gilt.

Wie gesagt, drei Sätze für den Beweis.


albjaga
26.7.2015 18:36
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Geehrter Danisch,
als nicht Wissenschaftler/ Mathematiker/ Informatiker sondern nur mit einer kaufmännischen Lehre gesegnet freue ich mich über solche Beiträge.

Es bringt Abwechslunbg ins tägliche Einerlei. und auch wenn ich nicht alles verstehe finde ich es trotzdem interessant. und denk mir meine Güte, was hab ich seit meiner Schulzeit schon alles vergessen.

Gruß aus dem Süden


Manfred P.
26.7.2015 18:57
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@CountZero

Warst Du in der Elementarteilchentheorie unterwegs? Ich muss gestehen, dass ich die Dirac-Theorie des Elektrons nie so richtig gerafft habe. Aber ich habe auch keine relativistische QM gehört, leider.

Ja, die algebraischen Methoden der QM finde ich auch klasse. Z.B. die Eigenwerte des QM-HM aus der Operatorenalgebra zu bestimmen, ohne auch nur eine DGL durch Reihenansatz zu lösen, ist einfach großes Kino. Da habe ich auch gestaunt, als ich es zum ersten Mal von einem Prof an der Tafel vorgerechnet bekommen habe – insbesondere, nachdem er uns in den Übungen den ganzen Scheiß mit Frobenius-Methode hat machen lassen. 🙂

Letztens habe ich in einem Antiquariat Fermis “Elementary Particle Physics” gesehen und mitgenommen, von 1954, kurz vor seinem Tod. Da gab es schon die ersten feldtheoretischen Modelle mit Renormierung, ich glaube von Bethe, Schwinger und Feynman oder so. In der Einführung beschreibt er das kurz.

Fermi war einfach unfassbar genial. Man ist aus heutiger Sicht ein bisschen geflasht, wenn er schreibt, dass es “vermutlich auch ein Anti-Proton und ein Anti-Neutron gibt, denn die Feldgleichungen geben das als Lösung her”.

Und seine grandiose physikalische Intuition äußert sich in der Bemerkung, dass seiner Meinung nach die krummen Werte für die magnetischen Momente von Proton und Neutron darauf hindeuten, dass diese eine kompliziertere innere Struktur aufweisen müssen – 10 Jahre vor Publikation der Quark-Theorie!

Die Jungs, die sich das alles ausgedacht haben, waren schon verdammt clever, das kann man nicht anders sagen…


Manfred P.
26.7.2015 18:59
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>Ich finde die LA-Erklärung nämlich gerade besonders einfach und ad hoc einleuchtend.

Ist sie auch, wenn man LA gelernt (und verstanden) hat.


rjb
26.7.2015 19:38
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> Wie erwähnt rechtwinklig, genau 90° zueinander, mit orthogonalen Normalenvektoren.

> Interessante Frage, ob das so sein muss, oder ob es auch mit anderen Winkeln geht.

Ich glaube nicht, daß es auch mit anderen Winkeln geht.

Zu einer Ebene a sei R_a die Reflektion an a, betrachtet als orthogonale Transformation (oT) des IR^3. Alle oT bilden die (Lie-)Gruppe O(3), und zu zwei Ebenen a,b gibt es immer ein x in O(3), so daß R_aR_bx = -id, also das Produkt dieser 3 Elemente die Diagonalmatrix diag(-1,-1,-1) ist. Allerdings muß x nicht die Reflektion an einer Ebene sein. Aber selbst dann, wenn x = R_c für eine Ebene c ist, muß ein Radarreflektor in Bauweise a,b,c nicht funktionieren. Denn es würde vorausgesetzt, daß die Reflektionen eines einfallenden Strahls an den Ebenen a, b, c in genau dieser Reihenfolge stattfinden. Es könnte aber Einfallsrichtungen geben, in denen etwa zuerst noch an a reflektiert wird, dann aber die Ebene c durchdrungen werden müßte, um auf die Ebene b zu kommen; oder der Strahl zuerst auf b oder c trifft.

Das ist aber irrelevant, wenn R_a, R_b, R_c paarweise kommutieren, also R_aR_b = R_bR_a usw. Für welche Tripel a,b,c von Ebenen ist das der Fall? Nun, wie man weiß (Stichwort “maximaler Torus”) bzw, sich schnell überlegt, sind die mit einer R_a kommutierenden Elemente von O(3) von der Form R_b für eine zu a orthogonale Ebene b. Daraus ergibt sich, daß die obige Kommutativitätsbedingung nur dann erfüllt ist, wenn a,b,c paarweise orthogonal zueinander sind. Und für andere Ebenentripel a,b,c mit R_aR_bR_c = -id bin ich mir ziemlich sicher, daß der Radarreflektor für entsprechende Einfallsrichtungen wegen den o.g. Gründen nicht funktionieren würde, bzw. allenfalls dann, wenn an den Ebenen/Spiegeln einfallende Strahlen in einen unverändert durchlaufenden und einen reflektierten Teil gesplittet würden.


Hadmut
26.7.2015 20:04
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> Ich glaube nicht, daß es auch mit anderen Winkeln geht.

Ich glaube, das kann ich widerlegen.

OBdA nehmen wir an, dass der Winkel zwischen zwei der Spiegelflächen ungleich 90° sei, also größer oder kleiner. Man leuchte parallel zur dritten Ebene so rein, dass der Lichtstrahl in diesen beiden Spiegeln reflektiert wird, und wir schauen einfach „von oben” also in Richtung des Normalenvektors der dritten Ebene drauf und ignorieren diese Dimension mal, machen also einen zweidimensionalen Schnitt der Reflektion. Dann sieht man, dass nach der zweiten Reflektion Eintritts- und austrittswinkel nicht gleich (bzw. um 180° gedreht) sein können. Die Restwinkel ergeben dann in der Summe nicht 180.


CountZero
26.7.2015 19:45
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@.Manfred P
> Warst Du in der Elementarteilchentheorie unterwegs?

Hmnnjaaah. Ich habe die Teilchenphysik während meiner Diplomarbeit aufgegeben, war mir zu ‘hochgezüchtet’. Außerdem war man am CERN ja sogar als Doktorand oder Post-Doc nur ein winziges Rädchen in einer riesigen Maschinerie, ohne direkt seine wissenschaftliche Kreativität auf etwas anderes als technische Probleme lenken zu können. Und für Theorie war ich zu blöd… damals schon! 🙂 (Wie die schwache WW an ihre Partikel koppelt habe ich aber tatsächlich mal selbst aus der Forderung nach Symmetrie unter SU(2) abgeleitet. Bin ich heute noch stolz drauf 🙂 Wahrscheinlich weil ich es heute nicht mehr verstehen würde…)

> Aber ich habe auch keine relativistische QM gehört, leider.

Vielleicht ist das ja ‘was für Dich. Hätte ich gern gehabt, als ich die relativistische QFT gehört habe (und das mit Ryder, Björken/Drell und ner schlechten Kopie von Itzykson/Zuber lernen mußte… lange her.)

Hans Bethe übrigens habe ich noch in einem Colloq gehört damals. Da waren alle noch lebenden Schüler von Fermi extra für angereist (natürlich sämtlich schon selber hochdekorierte Professor(inn)en). Ging aber weniger um Wissenschaft, sondern um sein Buch ‘The road from Los Alamos’ und seine Rolle beim Manhatten Project.


rleo
26.7.2015 20:44
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@Hadmut
“Und natürlich weiß ich, was die Reflektoren machen und wofür man die hat.”

Hab ich auch nicht bezweifelt. 😉
Im Gegenteil, ich finde es gut, wenn man mal scheinbares Alltagswissen aufgreift und zeigt, dass da doch einiges dahinter steckt.


yasar
26.7.2015 21:16
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jetzt aber:

Maus und Intenet:

https://www.youtube.com/watch?v=8PNRrOGJqUI

Habe ich übrigens des öfteren als lehrfilöm für’s Management und BA-Studenten einegsetzt. 🙂


yasar
26.7.2015 21:23
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Apropos Pooltisch:

Da wird die Kugel üeb zwei Bande zwar genau in die Richtung zurückgelenkt, aus der der kam (Richtungsvektor invertiert), aber nicht an den Punkt, aus dem er kam. Sofern der Abstand von der Ecke nicht klein genug ist, “trifft” die Kugel also den Ausgangspunkt nicht.

Beim Reflektor an der Tonne oder Brücke dürfte das gleiche gelten, Allerdings reicht vermutlich die Streuung, aus, daß genug Energie wieder zum Ausgangspunkt zurükkommt, um den Sensor zu erregen. d.h. “der Abstand von der Ecke” dürfte klein genug sein, um grob den Sender wieder zu treffen.


Hadmut
26.7.2015 21:30
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@yasar: Erstens die Streuung. Zweitens die tatsächliche Breite. Denn die Radarantennen sind breiter als die Reflektoren.

Möchte man die Translation mit berechnen, kommt natürlich noch mehr dazu, aber mir ging es hier nur um den Winkel.


Georg
26.7.2015 23:45
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Was passiert wenn ein Photon genau in die Mitte oder “Pyramidenecke” trifft?


Hadmut
26.7.2015 23:56
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> Was passiert wenn ein Photon genau in die Mitte oder “Pyramidenecke” trifft?

Der Pharao erwacht.


Georg
26.7.2015 23:51
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Korrektur:
“Tetraederecke”


Manfred P.
27.7.2015 0:22
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@CountZero

Teilchentheorie war mir auch zu schwierig. Als Higgs den Preis bekam, hab ich mir spaßeshalber mal sein Paper runtergeladen. Ist schon ein bekanntes Erlebnis, ein Paper anzuschauen und absolut NICHTS zu verstehen 🙂

Danke für den Literaturtipp, werde ich mir mal anschauen. Schließlich muss man seine physikalischen Allgemeinbildungslücken auch mal schließen 🙂 “The authors succeed remarkably in opening up the concepts of Quantum Field Theory to a broad, physically and mathematically trained readership.” – Klingt nach Leuten wie mir 🙂

Ja, Bethe muss wohl ein echt cooler Typ gewesen sein. Ich kenne nur die Erzählungen von Feynman, wo sie diesen Wettbewerb hatten, wer die abgefahreneren Rechentricks drauf hat, und Bethe ihn fast jedes Mal abgezogen hat. Feynman fast jedes Mal abziehen – Bethe muss es richtig krass drauf gehabt haben…

Ich habe einmal C.F. von Weizsäcker sehen können, da war ich noch in der Schule. Ein Physiklehrer hängte die Ankündigung aus der Zeitung ans Schwarze Brett, worauf ich meinem Vater davon erzählte. Er sagte direkt: “Na, da fahren wir doch hin!”, und ist mit mir nach seiner Schicht zur Universität gefahren, was von uns aus ein ziemliches Stückchen war.

So eine Aktion sagt einem Kind tausend Mal mehr über den Wert von Bildung als alle Politiker-Reden zusammen…


Heinz
27.7.2015 9:01
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Wenn man keinen ordentlichen Radarreflektor hat (und dann am besten auch kein AIS) kann das schnell gefährlich werden.
http://sailpress.com/seenotfaellemaritimenews/6434189d5d12bsu-ueber-radarreflektoren-fuer-yachten-und–sportbo.html
Die, gerade bei Segelyachten, häufig verwendeten Röhrenreflektoren werden oft schon bei leichter Neigung wirkungslos.


Andreas
27.7.2015 10:22
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Ich muss doch sehr bitten: es muss natürlich “EigenvektorInnen” heißen… 🙂


methusalem
27.7.2015 12:16
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Man kann einen Rückstrahler auch ohne Algebra gut erklären.

https://de.wikipedia.org/wiki/Rückstrahler

Und by the way finde ich es zum kotzen, wie Sie FKH fertiggemacht haben, denn er hatte den einzig richtigen Erklärungsversuch. Was haben Sie den produziert? Einen haufen blödsinniger Formeln, die keiner kapiert.

Sie sollten sich schämen. Bzw. die anderen hier auch -.-


Hadmut
27.7.2015 20:13
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@Methusalem:

> Man kann einen Rückstrahler auch ohne Algebra gut erklären. https://de.wikipedia.org/wiki/Rückstrahler

Der Rückstrahler wird da nur beschrieben, aber es wird nicht erklärt, warum das Licht in die Richtung zurückgestrahlt wird, aus der es kommt. Da steht nur

Aufgrund der Anordnung der jeweils drei Flächen in 90°-Winkeln wird das Licht in die Richtung, aus der es kam, zurückgespiegelt.

Das ist keine Erklärung. „Aufgrund” ist blabla, ein Füllwort, das eine Verbindung zwischen den ersten und dem zweiten Satzteil herstellen soll, wo keine gedankliche, mathematische, physikalische Verbindung ist.

Wer das für eine „Erklärung” hält, der weiß nicht, was erklären ist – und versteht natürlich auch die Meinungsverschiedenheit nicht.

> Und by the way finde ich es zum kotzen,

Man kotzt nach Lee und nicht in das Blog.

> wie Sie FKH fertiggemacht haben,

„fertiggemacht”? Jemanden auf Fehler und Ping-Pong hinweisen ist „fertigmachen”? Ihr solltet Euch als Opfer-Feministinnen bewerben.

> denn er hatte den einzig richtigen Erklärungsversuch.

Dreifacher Blödsinn.

  1. Widerspruch in sich: Entweder war es eine richtige Erklärung oder ein Erklärungsversuch, aber kein richtiger Versuch.
  2. Es würde voraussetzen, dass meine Erklärung falsch war. Hat bisher keiner gezeigt.
  3. Er hatte keine Erklärung. Er glaubte das nur, weil er – wie Sie – offenbar nicht weiß, was eine Erklärung ist.

> Was haben Sie den produziert? Einen haufen blödsinniger Formeln, die keiner kapiert.

Nein. Die Ihr beide nicht kapiert. Es gibt hunderttausende von Absolventen der Informatik, Mathematik, Elektrotechnik und weiterer MINT-Fächer, die das alle studiert haben und die das alle verstehen.

Zur Information: Das war Anfänger-Schwierigkeitsgrad, kommt irgendwann in der Mitte des ersten Semesters dran. Habe ich nach 30 Jahren noch im Kopf ohne nachzugucken.

> haufen blödsinniger Formeln

Ein winziges Förmelchen als Produkt aus vier Größen soll ein „Haufen Formeln” sein? Hahaha. Guckt mal in ein Mathebuch, Algebra, Analysis, Differentialrechnung, oder vielleicht einen Bronstein. Das ist ein Haufen Formeln.

Woher wollt Ihr überhaupt wissen, dass sie „blödsinnig” sind, wenn Ihr doch selbst sagt, dass Ihr sie nicht verstanden habt?

> Sie sollten sich schämen. Bzw. die anderen hier auch -.-

Weshalb? Weil ich mal über was schreibe, was zu meinem Beruf gehört?

Weil ich als Informatiker ab und zu auch mal was für ein kollegiales Fachpublikum schreibe?

Kann ja nicht alles immer auf dem Populär-Fasel-Niveau stattfinden.


Missingno.
27.7.2015 12:39
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Was mich viel mehr erstaunt, ist nicht, dass die Radarwellen reflektiert werden, viel erstaunlicher ist, finde ich, dass die an dem fetten Betonpfeiler durchgehen, bzw. ohne Echo stecken bleiben.

Das heißt, man müsste die Stealth-Flieger eigentlich aus Beton bauen? 😉


Wildlife
27.7.2015 16:34
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Haben die Heulbojen sowas auch? Die werfen doch auch jedes Licht zum Absender zurück und sind einmal quer drüber minus?


Hadmut
27.7.2015 19:45
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@Wildlife:

> Haben die Heulbojen sowas auch?

Heulbojen heißen im Deutschen Heultonnen, und wenn man die echten, klassischen Heultonnen betrachtet, dann haben sie das nicht, weil die im 19. Jahrhundert entwickelt und gebaut wurden, und da gab es noch kein Radar.

Es gibt allerdings moderne Tonnen mit Tonsignal, die auch Radarreflektoren haben.


Visu
27.7.2015 18:35
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Guten Tag Herr Danisch. Ich lese seit einigen Wochen Ihre Artikel auf Ihrem Blog. Die Themen die Sie Ansprechen und die Art und Weise wie Sie mit eventuellen Kritiken umgehen, passen mir. Ich finde Ihren Blog Informativ und gerade heraus. Gruss Visu.


Visu
27.7.2015 18:42
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Guten Tag Herr Danisch. Ich lese seit einigen Wochen Ihre Artikel auf Ihrem Blog. Die Themen die Sie Ansprechen und die Art und Weise, wie Sie mit eventuellen Kritiken umgehen, passen mir. Ich finde Ihren Blog Informativ und gerade heraus. Gruss Visu.


CountZero
28.7.2015 9:04
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@missigno
> Das heißt, man müsste die Stealth-Flieger eigentlich aus Beton bauen?

Aus Plastik, wie ‘Stoßstangen’ moderner Pkw…. 😉


der eine Andreas
28.7.2015 10:02
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@Methusalem:
> Einen haufen blödsinniger Formeln, die keiner kapiert.

Sie halten es mit Antje Schrupp?
“Whatever: Ich bleibe bei meiner Meinung, dass Studien und statistische Untersuchungen überbewertet werden. Und dass es durchaus ein Problem ist, dass solche „empirische“ Forschung mit viel mehr Geld gepampert wird als analytische, spekulative, ideenproduzierende Arbeiten.”

Mathe – bäh (Naina?), Physik – bäh (9/11), Chemie – bäh (Chemtrails), selber denken – pfui bäh

“Deutschland schafft sich ab”


yasar
28.7.2015 10:46
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@methusalem:

> Einen haufen blödsinniger Formeln, die keiner kapiert.

Nur weil Du nicht weißt, wie man mit Matrizen und Vektoren umgeht bdeutet das nicht, daß andere das nicht können, sogar mein Junior (9.Klasse Gymnasium) weiß was damit anzufangen, obwohl die das noch gar nicht im Unterricht durchgenommen haben.

Und für die, die die Formeln nciht verstehen, gibt es imemr noch die WDR-maus.


HöHü
28.7.2015 11:00
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> Interessante Frage, ob das so sein muss, oder ob es auch mit anderen
> Winkeln geht.

> Eine zentrale Erfordernis ist, dass das Produkt der drei
> Reflexionsmatrizen eine Diagonalmatrix mit -1 auf allen
> Diagonalwerten ist. Das könnte man vermutlich auch mit anderen
> Winkeln hinbekommen (was auszurechnen wäre).

Nein, denn die Reflexionsmatrix in der Basis der Spiegelnormalen wäre immernoch -I (-1 mal Einheitsmatrix). Allerdings wäre die Transformationsmatris Q auf eine (äußere) orthonormale Basis nicht mehr orthogonal und somit Q (-I) Q⁻¹ nicht mehr gleich -I. (Sonst wäre ja Q Q⁻¹ = I, was ja die Definition für orthogonale Matritzen ist.)


Manfred P.
28.7.2015 14:21
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>Sonst wäre ja Q Q⁻¹ = I, was ja die Definition für orthogonale Matritzen ist.

Hä? Eine orthogonale Matrix ist eine Matrix, deren Transponierte ihre Inverse ist.

(PS. Der Plural von “Matrix” schreibt sich “Matrizen”.)


Manfred P.
28.7.2015 14:22
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> Einen haufen blödsinniger Formeln, die keiner kapiert.

Also ich hab’s kapiert. Das ist Stoff aus dem ersten Semester.


HöHü
29.7.2015 8:13
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Stimmt, hast recht. Q Q⁻¹ ist natürlich immer gleich I. (bei invertierbaren Matritzen, was eine Koordinatentransformation ja sein sollte.

Das Argument ist sowieso Schrott, bei nicht orthogonalen Spiegeln ist (auch im nicht orthogonalen Koordinatensystem der Spiegelnormalen) die Reflexionsmatrix i.A. eben nicht -I, da ja die anderen Basisvektoren nicht mehr parallel zum jeweiligen Spiegel sind und somit reflektiert werden.
Die einzelnen Reflexionsmatritzen, die sich bei orthogonalen Spiegeln zu -I multiplizieren sind nur bei orthogonalen Spiegeln Diagonalmatrizen mit 1en und einer -1.


Missingno.
29.7.2015 9:17
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@CountZero

Aus Plastik, wie ‘Stoßstangen’ moderner Pkw….

Stoßfänger aus Kunststoff wären ja sinnvoll. Moderne Pkw haben deswegen lackierte Bleche, damit man auch jede kleine Berührung sieht und Beulen bleiben.


knut
29.7.2015 19:31
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Ein sehr schöne Beobachtung!
Insbesondere gefällt mir die Modellierung.

Ich hatte schon des Öfteren den Fall, dass es nur mit einer sauberen Modellierung gelang das Chaos von “handwaving”-Code zu entwirren. Gerade bei Sachen die einfach erscheinen, beisst der eine oder andere Sonderfall gerne kräftig zu.

Auch schön sind die Kommentare einger Leute, die entlarvender nicht sein könnten.