Hadmut Danisch

Ansichten eines Informatikers

Beten Muslime auf Orthodromen oder auf Loxodromen gen Mekka?

Hadmut
27.7.2012 19:30

Mir ist da gerade ein geographisches Problem aufgefallen.

Vor über 20 Jahren bin ich mit einem Kumpel einen Monat durch Malaysia gereist. Anfangs haben wir uns gewundert, warum in jeder Unterkunft ein Pfeil an die Decke gemalt war, bis uns mal aufgegangen ist, dass der Pfeil Richtung Mekka (genauer gesagt die Kaaba) zeigt. Deshalb hat man sich im Islam schon sehr früh mit Kurs- und Ortsbestimmung beschäftigt.

Seit ein paar Jahren sind zwar Kartographie, Navigation, GPS usw. so ein kleines Hobby und Steckenpferd von mir, und ich habe auch schon mal für Geo-Cache-Aufgaben ein paar solcher Rechenaufgaben gelöst, aber nie wieder an die Pfeile an der Zimmerdecke gedacht. Nun las ich aber gerade einen Bericht in der WELT darüber, dass der Tourismus in Bayern vom Burka-Verbot in anderen Ländern profitiert. Und darin steht:

Gern wird in höherklassigen Hotels ein Kompass als Willkommensgeschenk gereicht – damit der religiöse Gast weiß, wo Mekka liegt.

Nur: Mit einem Kompass alleine findet man die Richtung nach Mekka nicht. Denn die Richtung nach Mekka (oder jedem anderen Punkt der Erde) hängt von der eigenen Position ab, und die sagt einem der Kompass nicht. Man muss die Richtung schon kennen und der Kompass sagt einem nur, ob man die richtige Richtung eingeschlagen hat. Und gerade da lauert eine Falle:

Ich habe mal etwas herumgegoogelt, wie die meisten Leute die Richtung nach Mekka bestimmen: Sie gucken einfach auf Google Maps nach, eine Linie vom Standpunkt nach Mekka und den Winkel bestimmen (gibt oder gab zumindest mal sogar ein Kurs-Plugin dafür).

Der Haken daran: Auf diese Weise bestimmt man den Kurswinkel für eine Loxodrome. Das wäre der Winkel, der Kurs, den man dem Steuermann am Ruder mitteilt, wenn man von seinem Standpunkt aus mit dem Schiff nach Mekka segeln wollte. So hat man das jahrhundertelang gemacht. Das ist aber nur dann auch die Richtung nach Mekka, wenn man sich auf dem gleichen Meridian, sprich dem gleichen Längengrad wie Mekka befindet und genau nach Norden oder Süden fährt (und falls Mekka auf dem Äquator läge, auch dann, wenn man selbst auf dem Äquator stände).

Warum stimmen Kurs und Richtung nicht überein? Warum würde man in dieser Richtung mit dem Schiff nach Mekka fahren, obwohl es nicht die Richtung nach Mekka ist?

Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche liegt auf einem sog. Großkreis. Man stelle sich vor, die Kugel würde durch eine Ebene geschnitten, die durch den Mittelpunkt der Kugel und den Start- und den Zielpunkt geht. Diesen kürzesten Weg nennt man Orthodrome. Orthodrome sind das, was man unter „Richtung” versteht, was die Richtung nach Mekka (oder wohin auch immer) weist.

Orthodrome sind aber (außer den Trivialfällen auf den Meridianen und dem Äquator) sehr schwer zu berechnen. Schon auf der Kugeloberfläche braucht man dazu die Gleichungen der sphärischen Trigonometrie, und weil die Erde ein Ellipsoid ist, wird es nochmal schwieriger. Das ist dann nicht mehr mit einer geschlossenen Formel, sondern nur noch numerisch-iterativ zu berechnen. Und das ist mit einfachen Mitteln gar nicht mehr zu berechnen. Dazu kommt das Problem, dass Orthodrome keinen festen Kurswinkel haben. Wollte man auf einer Orthodrome von A nach B fahren, fährt man zwar den kürzesten Weg, muss aber permanent seinen Kurs (Winkel gegenüber Nord) neu berechnen und ändern.

Heutzutage ist das an sich kein Problem mehr. All die praktischen kleinen GPS-Geräte oder Smartphone-Apps können das inzwischen locker, und es gibt sogar elektronische GPS-Gebets-Kompasse für Muslime. Damit klappt das.

Aber mit Landkarten oder GoogleMaps klappt das nicht. Weil man damit eine Loxodrome und keine Orthodrome bestimmt.

Was heißt das?

In der frühen Schifffahrt (schreibt man das nach der neuen Rechtschreibung jetzt eigentlich mit zwei oder drei f ?) hatte man mangels Computer das Problem, den Kurs zu einem Ziel zu berechnen. Deshalb behalf man sich mit einem geradezu genialen Trick, der sogenannten Mercator-Projektion, die übrigens nach ihrem (mutmaßlichen) Erfinder Mercator benannt ist. Man kann die Projektion heute als Lösung von Differentialgleichungen ansehen, die gab es damals aber noch nicht. Soweit ich weiß, ist man noch nicht dahintergekommen, wie Mercator eigentlich auf diese geniale Idee kam und die Projektion bestimmt hat

Bei Mercator-Karten wird der Längengrad linear auf die Kartenbreite, der Breitengrad aber nichtlinear mit einer deftigen Funktion abgebildet. Deshalb ist eine Mercator-Karte nicht flächen- und geraden-, aber winkeltreu. Und das hat einen besonderen Seiteneffekt: Zeichnet man auf einer Mercator-Karte mit dem Lineal eine gerade Linie von einem Punkt A zu einem Punkt B, dann weist diese Linie an jeder Stelle denselben Winkel gegenüber den Meridianen auf, weil die auf der Karte ja exakt senkrecht stehen. (Und man hat ja mal irgendwann so um die 8. Klasse herum gelernt, dass eine Gerade eine Parallelenschar immer unter demselben Winkel schneidet.) Weil die Karte aber winkeltreu ist, fährt man auch in der Realität immer denselben Winkel gegenüber dem Meridian (geographisch Nord) und damit ungefähr denselben Winkel gegenüber magnetisch Nord, wenn man diese Linie entlangfährt. Dieser durch die Linie gefundene Weg hat den großen Vorteil, dass man unterwegs nichts rechnen muss, weil man immer exakt den gleichen Winkel gegenüber Norden fährt, sprich immer den gleichen Kurs hält. Man kann dem Steuermann sagen, er soll jetzt mal ein paar Stunden lang diesen Kurs festhalten, und muss nichts rechnen. So konnte man einfach nur mit Lineal und Winkelmesser, ohne jedes Rechnen, den Kurs von A nach B bestimmen.

Der Nachteil dessen ist aber, dass man in der Realität keine gerade Strecke, sondern einen Bogen fährt. Die Mercator-Karte ist winkel-, aber nicht geradentreu. Man erkauft sich die Einfachheit der Kursberechnung und des Haltens des Kurses damit, dass man einen Umweg fährt und am Startpunkt erst einmal in eine etwas falsche Richtung fährt. Das heißt, dass man auf einer Mercator-Karte (und damit auch auf Google Maps, Bing Maps, Openstreetmap) mit einer geraden Linie zwar den Kurs bestimmen kann, auf dem man mit einem Schiff oder Flugzeug einfach zum Ziel navigieren kann, in dem man immer denselben Kurs hält, aber nicht die Richtung bestimmen kann, in welcher Richtung Mekka liegt. Wer den Weg nach Mekka auf einer Mercator-Landkarte berechnet, betet in die falsche Richtung. Man könnte es als Ironie der Geschichte bezeichnen, dass manche der besonders harten Muslime wie die Taliban alles moderne, technische ablehnen, ohne das aber die Richtung nicht exakt bestimmen können.

Es gibt noch mehr Probleme:

  • Die Erde ist eine Kugel (bzw. ungefähr ein Ellipsoid). Es gibt immer mindestens zwei direkte Weg von A nach B. Weiß man, wo Mekka liegt, könnte man ebenfalls in die entgegengesetze Richtung beten, die führt auch nach Mekka. Das würde aber vermutlich nicht akzeptiert und womöglich als Schmähung aufgefasst.
  • Ist man genau auf der gegenüberliegenden Stelle der Erde, liegt Mekka in jeder Richtung. (Nachtrag: Das wäre fast auf den Meter genau auf dem Tematangi-Atoll. Dort kann man als Muslim in jede beliebige Richtung beten.)
  • Steht man am Nordpol, gibt es zwar eine Richtung nach Mekka, aber man kann sie weder als Kurs ausdrücken, noch mit einem Kompass bestimmen, weil am Nordpol jede Richtung „Süden” und damit 180 Grad ist. Man muss sie als Winkel gegenüber dem Nullmeridian ausdrücken. Dasselbe gilt umgekehrt für den Südpol.

Wenn man das mit der Bestimmung der Richtung also richtig machen will, sollte man das mit den Landkarten bleiben lassen. Ein GPS-Gerät mit Navigationsfunktion, eine Smartphone-App oder ein spezieller elektronischer GPS-Gebetscomputer muss da schon sein, wenn’s stimmen soll.

Nachtrag: So groß ist das Problem aber nicht, denn es kommt auf den Willen und nicht auf die exakte Richtung an. Vor ein paar Jahren war mal der erste muslimische Astronaut in der Raumstation und hatte sich vorher bei islamischen Rechtsgelehrten erkundigt, wie man richtig nach Mekka betet, wenn man dabei um die Erde rotiert und keine feste Richtung halten kann. Man kam zu dem Ergebnis, dass das unschädlich sei, weil es für die zwei Wochen da oben mehr auf den Willen, als auf die tatsächlich korrekte Ausrichtung ankäme.

17 Kommentare (RSS-Feed)

irgendeiner
27.7.2012 20:22
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Was hat der Glaube mit Geisteswissenschaften (Mathematik) zu tun??


yasar
27.7.2012 21:25
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Also ich habe als Kind beigebracht bekommen, daß die Richtung pi mal Daumen stimmen sollte, aber es in Ermangelung genauerer Bestimmungsmöglichkeiten es ausreicht, einfach nur grob in die richtige Richtung zu beten. Die Feinheiten wie Orthodrom oder Loxodrom war da eher nebensächlich. Das ist eher ein modernes Problem der Perfektionisten.


HF
27.7.2012 22:03
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Die stereografische Projektion ist elementar, war schon den alten Griechen bekannt und ist ebenfalls winkeltreu. Alle (!) Kreise auf der Kugeloberfläche, werden auf Kreise oder Geraden in der Ebene abgebildet, wobei Schnittwinkel auf der Kugel in gleich große Schnittwinkel in der Ebene übergehen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Astrolabium

Anmerkung: sphärische Trigonometrie ist Murks, die Formelsammlungen sollte man schwärzen. Wenn man auf dieser Grundlage ein Programm schreibt, ist es fast sicher, dass es übelste Sonderfälle und Vorzeichenanomalien enthält. Viel praktischer ist die Verwendung von kartesischen Koordinaten (x,y,z) in Verbindung mit Skalar- und Kreuzprodukt.


Hadmut
27.7.2012 22:10
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GoogleMaps ist aber keine stereografische Projektion, das hilft einem also nicht weiter.

Und auch die Vektorrechnerischen Methoden bringen einem ohne Rechner nicht viel.

Und einer der interessantesten Fehler bei Trigonometrie ist, wenn Werte, die zwischen -1 und 1 liegen müssten, durch Rechenfehler knapp außerhalb des Bereiches liegen. Wie ich schon unter http://www.danisch.de/blog/2011/05/15/kritik-an-der-programmiersprache-scala/ erwähnte…


Hadmut
27.7.2012 23:05
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Nachtrag: Wenn man nicht auf der Kugel, sondern auf dem Ellipsoid rechnet, bleibt einem ohnehin nicht mehr viel anderes übrig als Vektorrechnung.


User
28.7.2012 1:31
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wahnsinn, noch nie drüber nachgedacht… ist ja echt witzig, danke!


Stefan W.
28.7.2012 3:08
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Wenn man nördlich von Mekka weilt, dann betet man einfach nach Osten, mit einer ganz leichten Abweichung nach Süd. Dann ergibt sich eine schneckenförmige Linie die früher oder später Mekka trifft, oder ausreichend knapp verfehlt.

Wer auf die kürzeste Verbindung scharf ist, der soll sich eine schiefe Ebene basteln, so dass er durch die Erdkruste hindurch Mekka von unten anpeilt. Da kann er mal zeigen, dass er päpstlicher ist als der Papst – eine beliebte, muslimische Übung.

Und wer eine Raumfahrtmission mitmacht, der soll auf eine Plattform bestehen, die von 3 Motoren in die richtige Richtung permanent gekippt wird. Technisch sicher keine große Sache, aber teuer und unnötig platzraubend. Aber Mekka prinzipiell den Rücken zu kehren kommt sicher nicht in Betracht, weil, äh, weil – nun, äh, …


@Danisch (((“Ist man genau auf der gegenüberliegenden Stelle der Erde, liegt Mekka in jeder Richtung.”)))

Der Mecca gegenüberliegende Punkt ist mitten im Pazifik:
http://www.antipodr.com/?addr=mecca&x=0&y=0


Hadmut
28.7.2012 10:24
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Fast auf den Meter genau auf dem winzigen Tematangi-Atoll. Dort kann man also in jede beliebige Richtung beten.


Heinz
28.7.2012 10:08
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,,Was hat der Glaube mit Geisteswissenschaften (Mathematik) zu tun??”

Davon mal ganz abgesehen – ich kenn das von Muslimen nur so, dass sie sich einen Kompass nehmen und dann die °-Zahl messen.
Dass das nicht funktioniert, war mir schon lange klar, aber das scheint Religiöse nicht sonderlich zu stören.


Johanna
28.7.2012 11:00
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Bei unseren Nachbarn war mal für größere Umgestaltungen und zur Pflege der ziemlich verwachsenen Bäume ein Gärtner, der regelmäßig zu den Gebetszeiten die Arbeit niedergelegt hat und in der Einfahrt oder im Garten seinen Gebetsteppich ausgebreitet hat. Leider eher in Richtung Moskau als gen Mekka. Als ich ihn darauf interessiert angesprochen hatte, sagte er im Prinzip das gleiche wie “yasar” – so Pi mal Daumen mit reichlich Toleranz und viel Willen wird das schon in Ordnung sein. Im übrigen erzählte er mir, dass er zur Not auch einfach die Richtung der Kirchen als Anhaltspunkt nimmt, da alte Kirchen ja orientiert sind und in den allermeisten Fällen nach Osten zeigen. Richtung des Altars und ein klein wenig nach rechts (also gen Süden) ist dann in etwa Mekka…


Hadmut
28.7.2012 11:01
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Komisch. Sonst nehmen manche Muslime (wohl vor allem die Salafisten) alles so extrem wörtlich und genau, nur beim Zielen sehen sie das eher locker.


David
28.7.2012 17:46
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Ist im Judentum übrigens genauso so, da ist das Ziel nur Jerusalem und wird meistens (zumindest in Europa und USA) als “gen Osten” interpretiert.


HF
28.7.2012 17:52
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Zum Glück wurde das nicht immer so locker gesehen. Ohne das Interesse an der Großkreisrichtung nach Mekka wäre die griechische Astronomie vielleicht nicht überliefert worden. Es gab großes Misstrauen gegen die heidnische Sterndeuterei, und die Küstennavigation kommt ganz gut ohne viel Theorie aus.


O.
29.7.2012 2:58
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http://www.danisch.de/blog/2012/07/27/beten-muslime-auf-orthodromen-oder-auf-loxodromen-gen-mekka/#comment-15440

Na, also laut Wikipedia ist das Attol 11,5 c 7 km breit.

Und wenn man das per antipodr mal rein zoomt,
dann kommt man zwar in die Nähe dieses Attolls,
liegt jedoch mehrere Attoll-Abmessungen daneben.

“Fast auf den Meter genau” ist also doch eher Quatsch.

Da hast Du Dir über so viele Details der Richtungsbestiimmung den Kopf zerbrochen, und dann ligest Du doch mehrere Kilometer daneben.

Gibt es auch schon Leute, die unter Wasser gen Mekka beten?
Dann könnte man da ja mal anfangen…
…wobei es wegen der Richtungs-Egalität auch wurscht ist.

Naja…. die Welt der Religion ist eh sehr fragwürdig.


Hadmut
29.7.2012 20:43
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@O.: Du begehst einen Denkfehler: Wenn Du bei Antipodr einfach Mecca eingibst, nimmt antipodr nur einen einzelnen Punkt in Mekka. Mekka hat im Durchmesser aber auch 30-40 km.


fandji
1.8.2012 0:14
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Man müsste auch noch die erdkrümmung oder steigung aif der man betet mit einem keil ausgleichen